連立方程式、ランク

質問

１、(ｍｘｎ)の行列， (m×1)のベクトルをそれぞれA,bとし、行列Ａ
のランクをrとする．このとき，連立方程式Ax=bの解はそれぞ
れ(i)一意に求まる場合　ii)無数に存在する場合　iii)存在しない
場合が考えられる．それぞれはどのような場合に生じるかを記せ。
また，上記の方程式の解が存在しないときの最小自乗解は何か．
２．Ｘはｍｘｎの行列でランク（階数）はrである．このとき，Ｘは
　Ｘ=ＢＣと表現できることを示せ、ただしＢはｍｘｒの列正則な
　行列，Ｃはｒｘｎの行正則な行列である．

解答を載せましたが、これで合っていますか？

回答No.2

arrysthmia

訂正:
B の各列は任意には選べなかった。
条件に合う F を適当に選んで、
F の各列の X による像を列として
並べて B を作る。

回答No.1

arrysthmia

１．
落ち着いて！ r = rank A と置いたのでしょう？
　一意に存在する：　rank A = rank A|b = m
　無数に存在する：　rank A = rank A|b < m
　存在しない：　　　rank A < rank A|b
ですよ。書き違いなのか、覚え違いなのか…
ここで、A|b は、
A と b の列を並べた m×(n+1) 型の行列という意味
ですから、A と b の行列積と間違えぬよう。

２．
一般逆行列など持ち出さなくても、高校レベルで…
X の像空間 Span X の基底を列として並べた
m×r 型の行列を B、
対角成分が 1 で他の成分が 0 である
r×n 型の行列を D、
X の核 Ker X の基底を右から
その補空間 R^n / Ker X の基底を左から
列として並べた n×n 型の正則行列を F
と置くと、X = BD(F^-1) が成り立つので、
C = D(F^-1) とすればよい。