三角関数の極限値について

質問

lim (x→0) (tan(x)-x)/x^3 が 1/3 に収束するはずなのですが、どのようにすれば導けるのか計算過程が分かりません。
無理だと分かりつつ、自分なりに解いていくとやはり 0に収束してしまい1/3になりません。
計算過程を教えていただければ幸いですが、方針だけでも教えていただけないでしょうか？
よろしくお願いします。

回答No.2

WinstonSea · ベストアンサー

高校ではなく大学での問題と考えてよろしいですよね？
ロピタルの定理を使って分子と分母をそれぞれ３回微分すれば解けます。

お礼

最初に解法を教えていただいたということで選ばせていただきました。
ありがとうございました！

補足

はい。大学での問題です。ロピタルの定理を使わないとなるとやはり複雑かつ難解になるのでしょうか？

回答No.5

info22

> lim (x→0) (tan(x)-x)/x^3
=lim (x→0) ((sin(x)/cos(x))-x)/x^3
=lim (x→0) (sin(x)/x-cos(x))/(cos(x)x^2)

ここでsin(x)とcos(x)のマクローリン展開の公式
sin(x)=x-(x^3)/6+ 0(x^5)
cos(x)=1-(x^2)/2+ 0(x^4)
で xが非常に小さいときは　
sin(x)≒x-(x^3)/6
1-cos(x)≒(x^2)/2　
と近似できるので

=lim (x→0) ((x^2)/2-(x^2)/6)/(cos(x)x^2)
=lim (x→0) (1/2-1/6)(x^2)/(x^2)
=1/2-1/6=1/3

ロピタルの定理を使ってももちろんできます。
lim (x→0) (tan(x)-x)/x^3
=lim (x→0) (tan(x)-x)'/(x^3)' ←ロピタル定理適用
=lim (x→0) ((1/cos(x))^2-1)/(3x^2)
=lim (x→0) (sin(x))^2/((3x^2)(cos(x))^2)
=lim (x→0) (sin(x)/x)^2/(3(cos(x))^2)
=1/3

お礼

さまざまなアプローチの仕方があるのですね。もっと柔軟に考えられるようにしていきたいです…

ご回答いただいた皆さんにポイントを差し上げたかったのですが、できないため、今回は先に回答をいただいたお二方を選ばせていただきました。
すみません…
ご回答いただきありがとうございました！

回答No.4

owata-www

tanxのテイラー展開をすれば
tanx＝x+x^3/3+2*x^5/15…
になるので
tanx-x＝x^3/3+2*x^5/15…
になります

よって、答えは1
lim (x→0) (tan(x)-x)/x^3
は1/3になりますね

お礼

このような解法もあるのですね。勉強になります。

ご回答いただいた皆さんにポイントを差し上げたかったのですが、できないため、今回は先に回答をいただいたお二方を選ばせていただきました。
すみません…
ご回答いただきありがとうございました！

回答No.3

sanori

再びお邪魔します。
間違いに気づきました。

１／（cosｘ）^2　－　１
に単純に　ｘ＝０　を代入すると、１－１＝０　になっちゃいますが、
ｘ＝０　ではなく、ｘ→０　なのですから、
１／（cosｘ）^2　－　１
という引き算は、ぎりぎりゼロにならない、とイメージするのが正しい発想です。

よって、まともな極限を取れるまで微分を繰り返してロピタルの定理を使うことになります。

追伸
私が高校生の頃は、数学IIIＣ でロピタルの定理を習いましたけど、今はそうじゃないんですね。
ほー

お礼

最初にお答えいただいたことと２回も回答をいただいたということで選ばせていただきました。
ありがとうございました！

高校の教科書にはロピタルの定理は載っていないので、大学入試で使う時は自分で証明しないと使えないので不便ですね…

回答No.1

sanori

こんばんは。
平均値の定理（ロピタルの定理）を使う手があります。

ロピタルの定理とは、
分子／分母　の極限　＝　分子の微分／分母の微分　の極限
です。

分子の微分は、
（tan(x)-x）’＝　１／（cosｘ）^2　－　１
これを、ｘ→０　に近づけると、
１／（cos０）^2　－　１　＝　１／１^2　－　１　＝　０
やはり、ゼロになっちゃいました。

一応、分母の微分もやっておきますか。
（ｘ^3）’＝　３ｘ^2

よって、
与式　＝　０／（３ｘ^2）　＝　０
です。

式のどこかが、おかしいですね。

以上、ご参考になりましたら。