極限値

質問

lim[x→0] x tan^-1(1/x)

どのようにすればよいのでしょうか？
ロピタルの定理で
lim[x→0] {tan^-1(1/x)}/(1/x)
=lim[x→0]{tan^-1(1/x)}'/(1/x)'
=lim[x→0]{-1/(1+x^2)}/(1/x)^2
=lim[x→0](x^2)/(1+x^2)=0

なのでしょうか？

教えて頂けないでしょうか？
ちなみに　tan^-1(1/x)
のグラフはどのようになるのでしょうか？

よろしくお願い致します。

回答No.3

R_Earl · ベストアンサー

ANo.2ですが、誤りがあったので訂正します。

> ロピタルの定理を使わなくても、
> x → 0でtan^-1(1/x)が無限大に発散しないので、
> lim[x → 0] xtan^-1(x) = 0と考えられませんか？

正しくはこうです。

ロピタルの定理を使わなくても、
x → 0でtan^-1(1/x)が無限大に発散しないので、
lim[x → 0] xtan^-1(1/x) = 0と考えられませんか？

失礼しました。

お礼

回答ありがとうございます。

はさみうちの定理で行うと
-π/2<tan^-1(1/x)<π/2
=-πx/2<xtan^-1(1/x)<πx/2
より
lim[x→0]-πx/2=0
lim[x→0]πx/2=0

よって
lim[x→0]xtan^-1(1/x)=0
になるで良いのですよね？

ありがとうございました。

回答No.2

R_Earl

> lim[x→0] x tan^-1(1/x)

tan^-1(x)はtan(x)の逆関数でしょうか？

> ロピタルの定理で
> lim[x→0] {tan^-1(1/x)}/(1/x)
> =lim[x→0]{tan^-1(1/x)}'/(1/x)'
> =lim[x→0]{-1/(1+x^2)}/(1/x)^2
> =lim[x→0](x^2)/(1+x^2)=0

まず、ロピタルの定理は使えないはずです。
あれは、0/0か∞/∞の不定形になるものにしか使えなかったと思います。
tan^-1(1/x)→∞なら使えますが、そうではないので使えません。

tan^-1(x)の値域は

-π/2 < tan^-1(x) < π/2

ですよね。なので

-π/2 < tan^-1(1/x) < π/2

です。

ロピタルの定理を使わなくても、
x → 0でtan^-1(1/x)が無限大に発散しないので、
lim[x → 0] xtan^-1(x) = 0と考えられませんか？

もうちょっとちゃんと示したいのなら、先ほどの式

-π/2 < tan^-1(1/x) < π/2

にxをかけて、はさみうちの定理を使えば示せます。
x → +0の場合と、x → -0の場合で分けて考える必要がありますが。

> ちなみに　tan^-1(1/x)
> のグラフはどのようになるのでしょうか？

xに値を代入し、その時のtan^-1(1/x)の値を計算して
グラフにプロットするしかありません。
tanの三角比表があれば、作業が大分楽になります。
例えばx = 1の時、tan^-1(1/x) = tan^-1(1) = π/4。
x = √3の時、tan^-1(1/x) = tan^-1(1/√3) = π/6です。

回答No.1

proto

逆三角関数についての公式
　　arctan(x)+arctan(1/x) = π/2
を使います。
　　arctan(1/x) = π/2 -arctan(x)
です。

お礼

回答ありがとうございます。