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クラインの壺の話で

2009/05/14 03:15

いくつか疑問があるので、伺いたいです。ちなみに数学は素人ですメビウスの輪やクラインの壺は有名ですが、メビウスの輪→表と裏がつながる。　言い換えると2次元が3次元に変化する、といえるでしょうか？クラインの壺→内と外がつながる。　言い換えると3次元が4次元に変化する、といえるでしょうか？また2次元が3次元に変わるのがメビウスの輪、 3次元が4次元に変化するのがクラインの壺なら 1次元が2次元に変わるのが、円 0次元が1次元に変わるのが　線でいいでしょうか？つまり、円とは、1次元の線の、本来つながるはずのない端と端が、2次元空間でつながることによって生じている、といえるでしょうか？また、線は、0次元の大きさのない点の、何かと何かがつながることで、一つ上の次元の線になっている、といえるでしょうか？ 0次元の点の場合、何と何がつながって線になるのでしょうか？そもそもこういうまとめ方は、ありでしょうか？僕は高校程度の知識しかなく、空想のたぐいなので、疑問を浮かぶまま書きました。とても馬鹿っぽい質問ですが、何でもいいのでお返事いただけたらと思います。疑問てんこ盛りです。ネットでは調べたですが、上のような系統の話は見つからなかったのでこちらで伺います。

sheep67
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数学・算数
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rabbit_cat
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2009/05/14 03:37 回答No.2

＞メビウスの輪→表と裏がつながる。　言い換えると2次元が3次元に変化する、といえるでしょうか？うーん。なかなか微妙な表現ですが、「メビウスの輪は、局所的（ミクロ的に）に見れば２次元なんですが、メビウスの輪全体を２次元平面に書くことはできません。メビウスの輪を実際に作るには３次元空間が必要です。」で、上の「」の中の表現を、もうちょっと数学的な言葉にすると、「メビウスの輪は、２次元の微分可能多様体であるが、２次元のユークリックド空間R^2に埋め込むことは不可能で、３次元のユークリッド空間に埋め込むことは可能」て感じになるでしょうか。同様に、「クラインの壷は、３次元多様体で、４次元のユークリッド空間に埋め込み可能」「円は、１次元多様体で、２次元のユークリッド空間に埋め込み可能」です。真面目に勉強したいなら、「微分（解析）幾何」という分野の本を読むといいです。おそらく大学３年くらいで習う内容です。「多様体」「位相（トポロジー）」とかいうキーワードが出てきます。＞0次元が1次元に変わるのが　線これだけは、上のような解釈ができない。

質問者

お礼 2009/05/14 07:17

多様体ーーwikiでみたのですが、レベルが高すぎました。大雑把にすら、今ひとつ、どうしてこういう概念が生まれるのかよくわからなくて。これ以上入ると、言われるとおりまじめに勉強しないと無理ですねー。僕は微分積分の定義がどーーしても釈然としなくて、そこでつまづいています。残念無念。トポロジーのほうは、前から興味があって概念は知っていますが、これも厳密な話は理解できてません。微分幾何学か～～。道は遠いなー。＞なかなか微妙な表現ということは、大間違いではない、という程度に受け取っていいでしょうか？０次元の点だけが、線にならない、というのは実に不思議ですね～～。回答ありがとうございました！

質問者

補足 2009/05/14 13:29

今思いついたんですが、 0次元の点が線になるのは、この世に自分だけしかないはずの0次元の点が、その自らとひっつくことで、1次元の線になる、というのはだめでしょうか？感覚的にはこれはぴったりなんですが・・数学は感覚ではない・・・ですよねー。

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INTLINSIDE
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2009/05/14 08:06 回答No.3

４次元が、XYZと時間という解釈には少々疑問が残る場合もあるんじゃないかと思うのですが・・・。＋１次元がどういうパラメータであるかという点について、必ずしも時間ではないと。例えば、時間軸を含まない４次元図形も、４次元図形ですよね。４次元図形は、ステレオグラムなどで３次元可視化もでき、コンピューター上で、アニメーションさせる事もあると思います。その場合、アニメーションが時間の経過だと思うんで、今映っているものは何なのかという話になるんじゃないかと。

質問者