直角三角形で、15度 75度 90度のときの辺の比

質問

今年高校生になりました。
それで、高校受験をしたときに、15度、75度、90度の三角形は、
辺の比が

√3-1:√3+1:2√2

となると習いました。

ですが、今、自分でそれを導き出そうとしたところ、
1:2+√3:√2+√6

にしかなりません。

一応検算をしたら二つは同じものになっているような事がわかったのですが、

√3-1:√3+1:2√2

を導き出したいのです。
どなたかどのように導き出すのか教えていただけないでしょうか？

また、三角比というものをこれから習うのですが、それも関係しているのでしょうか？

ご返答お願いします。

回答No.2

nattocurry · ベストアンサー

分母が　√a＋b　の形の無理数のときは、(√a－b)／(√a－b)を掛けて、分母を有理化します。

1：2+√3：√2+√6
＝1：2＋√3：√2＋√2√3
＝1：2＋√3：√2(√3＋1)
＝1／(√3＋1)：(2＋√3)／(√3＋1)：√2

1／(√3＋1)
＝(√3－1)／{(√3＋1)(√3－1)}
＝(√3－1)／(3－1)
＝(√3－1)／2

(2＋√3)／(√3＋1)
＝(√3＋2)(√3－1))／{(√3＋1)(√3－1)}
＝(3＋√3－2)／(3－1)
＝(√3＋1)／2

1／(√3＋1)：(2＋√3)／(√3＋1)：√2
＝(√3－1)／2：(√3＋1)／2：√2
＝(√3－1)：(√3＋1)：2√2

お礼

とてもわかりやすい解説をありがとうございます！！
やっと理解できてすっきりしました。

回答No.1

Rice-Etude

同じ数で割っても、比率は変わりませんので、1個目の比
√3-1：√3+1：2√2
から、√3-1で割ってみます。すると
1：(√3+1)/(√3-1)：(2√2)/(√3-1)
となります。

あとは分母の√3-1の有理化を行えば同じ値になります。

お礼

ご解説ありがとうございました。
理解でき、すっきり出来ました。