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質問：三角比の問題（大学受験）
大学受験用参考書に載っている「三角比」の問題を解いていますがわからないところがあります。どなたかおわかりになる方がいらっしゃれば教えていただきたいと思います。宜しくお願いいたします。 問題は ある木の高さ（AH）を知るために測量を行った。地点Ｂから仰角を測ったら45度、地点Cから仰角を測ったら27度、BC間の距離は70ｍで角BHC=120度であった。この木の高さを求めよ 解答は 求める高さAHをhとおく 三角形ABHにおいて、AH/BH=tan45度=1 よって、BH=AH=h 三角形ACHにおいて AH/CH=tan27度=0.5 よってCH=2AH=2h ここで疑問なのは「AH/BH=tan45度」「AH/CH=tan27度」のところです。というのも三角形ABHと三角形ACHには両方とも直角がありません。にもかかわらずtanを使えるのかということです。また使えたとしてtan45度＝AH/BHとどうしていえるのですか。いつも三角比を考える場合直角の位置をもとに考えると思うのですがこの図形では直角がないのでtan45度を考える際図形をどのようにおいて考えればいいのかわかりません。（文の意味がわかりにくいかもしれませんので補足です。つまり普通tanについて考えるときは直角があるのでそこの辺を底辺にして考えるとtan＝（直立方向の辺）/（底辺）と考えることができますが直角がない三角形の場合どこを底辺にして考えればいいのかわかりません） 今まで直角があってこそ使えるものだと思っていたのですが解答には図も載っていますがやはり両方の三角形にも直角はありません。確かに(cos) ＾2+(sin) ＾2=1の公式などは直角のことを考えずに使えると思うのですがこの問題の場合にどうして使えるのかわかりません 大変基礎的で私の勉強不足なのですが質問する人がいないため困っています。どなたかご存知の方がいらっしゃれば教えていただきたいと思います。また説明不足の点があれば補足させていただきますので宜しくお願いいたします
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質問者が選んだベストアンサー
この問題には木が垂直に立っているという前提があると思います。 図を書いてみましたが、地面に３点Ｈ、Ｂ、Ｃ、があり、点Ｈから垂直上方にｈだけの高さの所に点Ａがある、という図になると思います。 垂直ということは∠ＢＨＡ、∠ＣＨＡが直角になりますから、△ＡＢＨ、△ＡＣＨは直角三角形となり、ご質問に書かれた解答のとおり、BH=AH=h、CH=2AH=2h、となります。 あとはこれを元に、△ＡＢＨ、△ＡＣＨの斜辺ＡＢ，ＡＣの長さを三平方の定理を使って算出し（ｈの式で表されると思います）、その長さとその挟む角∠ＢＡＣが120度、その角の対辺ＢＣが70ｍという値を使って、余弦定理 a^2=b^2+c^2-2bc sinθ に当てはめてｈを求める問題だと思います。 参考）余弦定理 http://www.madlabo.com/mad/edat/mathematic/tri2d/
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- aki628
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AHは、木の高さであり、空の1点から地面までの一番短い距離である。 木の長さではない。だから、木が斜めに倒れているとか、曲がっているとか、垂直とか、考えると混乱してしまう。 この問題とは、無関係である。これを解くには、木の天辺の1点から、垂直に線、或いは、糸を降ろしたと、考えるとＡＨ／ＢＨの角度は、90度、つまり垂直である。 どの問題を解くにも、早く無関係な事を排除する能力をつけること。頑張りなさい。
お礼
aki628様ご回答いただきありがとうございました。私はこの木が垂直に立っていない、などそこまで複雑なことを考えていたわけではなく、勘違いをしていました。文章把握に努めたいと思います。アドバイスをいただきありがとうございました。
- tosiki
- ベストアンサー率23% (34/145)
そうですね。 ｔａｎは勾配率計算ですので90度が無ければ使えません。 直角三角形ＢＡＨと、直角三角形ＣＡＨの二個の比較演算です。 直角三角形ＢＡＨは45度ですので、勾配率は１ 直角三角形ＣＡＨは27度ですので、勾配率は０．５ この時、勾配率を考えると恐らく底辺は2倍の１４０ｍ、高さは７０ｍと考えました。
お礼
tosiki様、ご回答いただきありがとうございました。やはりtanは直角がないと使えないのですね。この問題に関しては恥ずかしながら私の勘違いだったようです。三角形ＢＡＨと、三角形ＣＡＨがいずれも直角三角形ということにやっと気づきました。ご回答いただきありがとうございました。
- takomari
- ベストアンサー率36% (1618/4451)
Hというのは木の根元で、そこから木は垂直に立っているわけですよね。 B地点から木の先端（A）に向かって仰いだ角が45度、ということは、B地点→H（木の根元）→A（木の先端）という三角形を考えると、角HBAが45度、角BHAが90度（木が垂直に立ってるから）となり、三角形BAHは角Hが直角の直角二等辺三角形となるような気がします。 そうなると、AH／BH＝tan45というのが出てくると思うんですが。 解説文に記号の説明とかはなかったですか？
お礼
takomari様、さっそくご解答いただきありがとうございました。回答を読ませていただいてようやくわかりました。 これは私の勘違いだったようです。というのも、解答の図が、当然ですが、平面的に書いてあったので、BHCは高さが異なると思い込んでいました。なので、図だけをみると角AHCと角AHCが直角に思えませんでした。でも、これはBHCは地面上の点なのですね。解答の図を奥行きをもって立体的に見ることができませんでした。文章把握ができていませんでした。 ご回答いただきありがとうございました。
- misako335
- ベストアンサー率25% (28/108)
木が立っているのですから、木と地面の角度が直角になります。 tan27°≒0.5なので、ＡＨ：ＨＣ＝1：2となり、 ＡＨ＝ＢＨですから、ＢＨ：ＨＣ＝1：2 上から見た図を作図すると、∠ＢＨＣ＝120°となります。 あとは、図形の問題ですね。
お礼
misako335様、さっそくご解答いただきありがとうございました。ようやく理解することができました。 これは私がいまいち問題文をちゃんと読めていなかったようです。というのも、解答の図が、当然ですが、平面的に書いてあったので、図だけをみると角AHCと角AHCが直角に思えませんでした。当然ですが、木と地面の角度が直角ですね。ご回答いただきありがとうございました。
お礼
s_yoshi_6様、さっそくご解答いただきありがとうございました。みなさんの回答を読ませていただいてもいまいちよくわからなかったのですが、s_yoshi_6様の回答の「地面に３点Ｈ、Ｂ、Ｃ、があり」で、ようやく自分の勘違いに気づきました。私は解答の図が、当然ですが、平面的に書いてあったので、BHCは高さが異なると思い込んでいました。なので、図だけをみると角AHCと角AHCが直角に思えませんでした。でも、これはBHCは地面上の点なのですね。解答の図を奥行きをもって立体的に見ることができませんでした。s_yoshi_6様のご回答がないといまだに自分の思い込みに気づかないところでした。ご回答いただきありがとうございました。