周曲線の積分記号の意味について

質問

積分記号の意味についてわからないことが2点ほどあります。

1点目。普通、定積分は積分記号(インテグラル)の右上と右下に積分範囲を書くと思いますが
右下のみ書かれた積分記号を見たことがあります。
これはどういう意味でしょうか？
個人的には周曲線の積分のことだと予想しているのですが正しいでしょうか？

2点目。積分記号の真ん中に○が書かれた積分記号を見たことがありますが
調べてみると周回積分の積分記号となっていました。
これは先ほど1点目の質問の周曲線の積分とは何が違うのでしょうか？

理解している方がいらっしゃっいましたら是非ご教授お願いします。

回答No.3

redunit

まず１点目から
ひとことでいうと右下添え字＝周曲線とは限りません。

∫の右下の添え字はふつうは積分の範囲を表す"集合"です。

今考えている積分が実関数の定積分なら区間ですね。
たとえば区間を別のところでAとかIとかの文字で置いて右下に書いたり、不等式で区間を表したものを書くこともあります。

考えている積分が線積分ならそれはどのような経路にそって積分をするかを表しています。周曲線を表すのはこの場合のうちのひとつにすぎません。
同様に面積分なら曲面、体積分なら立体図形を示します。

積分の記法は著者や分野や積分の種類によって幅があり、また文脈から自明な範囲だったり一般的な任意の範囲で成り立つものだったりするときはしばしば省略されるので一概に右下にあるのはこれだとはいえません。
したがってその場その場で何を指すかを判断していくしかありません。

２点目
その記号はふつうは"線積分"をするときで、かつ"積分をとる曲線が閉曲線を一周する"ということを明示するときに使う記号です。

線積分には∫C（Cは右下添え字）という記号を使うのが一般的ですね。このように書いた場合はどこかにCが定義されていて（※）、これは曲線が閉じていようといまいと表せます。
（※）たとえばC:y=x+2,0≦x≦3とかC:半径1の円周全体などという具合です。

しかし、ベクトル解析のストークスの定理とか、函数論のコーシーの積分定理などではその曲線が閉じていることが大事なのでそのことが一目でわかるようにこの記号を用いることがあります。
先ほどの例では１つ目の線分は閉じていないので使えませんが、円周全体は閉曲線なので使えます。

というわけでその記号を見た時は閉曲線であることを強調したかったんだろうなぁと思ってあげてください。

お礼

大変わかりやすい回答ありがとうございます。1点目は集合の積分、2点目は周曲線の積分ということですね。
1点目の方法で周曲線を表す事も可能ですがそれだけでないということですね。ありがとうございました。

回答No.2

rabbit_cat

＞個人的には周曲線の積分のことだと予想しているのですが正しいでしょうか？
教科書ごとの定義にもよるとは思いますが、普通は正しくないです。ですが、まあ、以下のように、周回積分を表わしている場合も可能性としてはあります。

つまり、積分範囲自体を、なんらかの記号で表わしてあって、その範囲で積分しなさいという記号です。
例えば、記号Ｉで区間[-1.-1]と表わす、としてあれば、
∫_I f(x)dx
は、∫_[-1→1] f(x)dx
のことですし、記号Ｃが、なんらかの（方向つきの）閉曲線を表わしていれば、
∫_C f(s)ds
は、周回積分のことです。

お礼

ご回答ありがとうございます。皆さんのおかげでやっと理解ができました。

回答No.1

yamori2009

私の持っている教科書を見てみたところ定理によって長方形領域を表したり、有界閉区間を表していたり滑らかな曲線を表していたりします。

おそらく問題によって明らかな場合は説明が省かれるのだと思います。記号が意味するものが平面なら平面全体にわたって、曲線なら曲線にそって（方向は明らかな方向またはどちらでも結果は変わらない）、立体なら立体全体にわたって積分ということでしょう。

2点目ですが、先ほどの教科書には記述されていませんでしたが、経験上閉じた曲線にそって積分ということですね、右下にその曲線の記号を書くときと同じことだと思います。

お礼

ご回答ありがとうございます。皆さんのおかげでやっと理解ができました。