直積位相定義が2個の直積の場合に合致してるか?
直積位相の定義についての質問です。
[定義ア]位相空間(X_λ,T_λ) (λ∈Λ(Λは任意の添数集合))と射影fが与えられていて,直積集合P:=ΠX_λとおく。
この時,X_λ⊃{f_λ^-1(t_λ)∈2^P;t_λ∈T_λ}=:S_λをf_λによって誘導される(X_λ,T_λ)の位相と呼ぶ。
次に和集合B:=∪S_λと置き,
この時,このBから生成される位相{U∈2^P;∀x∈U,∃b∈B such that x∈b⊂U}
を直積集合Pの直積位相と呼ぶ。
が直積位相の定義だと思います。
[定義イ]2個の直積(X_1,T_1)×(X_2,T_2)の場合の直積位相は{∪[g∈G]g ;G⊂T_1×T_2}と載ってました。
[定義ウ]集合Xの部分集合族Bが以下の条件を満たすときBをXの開基という
(1)BはXを被覆する
(2)任意のb1,b2∈Bおよび任意のx∈b1∩b2に対して、あるb∈Bが存在して、x∈b⊂b1∩b2となる。
[定義エ] Bを集合Xの開基とする時,{U∈2^X;∀x∈U,∃b∈B such that x∈b⊂U}をBによって生成される位相という。
そこで定義アの直積位相定義が2個の直積の場合に定義イと合致してるか調べています。
まずS_1={f_1^-1(t_1);t_1∈T_1},S_2={f_2^-1(t_2);t_2∈T_2}でB:=S_1∪S_2と置く。
そしてこのBによって生成される位相は{U∈2^(X_1×X_2);∀x∈U,∃b∈B such that
x∈b⊂U}:=L
これが{∪[g∈G]g;G⊂T_1×T_2}:=Mに一致してるか吟味してみます。
(i) L⊂Mを示す。
∀U∈Lを採ると,∀x∈Uに対してx∈b⊂Uなるb∈Bが存在する。
Bの定義よりb={f_1^-1(t_1),f_2^-1(t_2)}という集合になっています。
そこで結局の所,Uは常にbを含んでいなければならない訳ですからU=∪[b∈B']b (但しB'⊂B)…(1)となっていますよね。
所でBの元達はというとB:=S_1∪S_2な訳ですから(1)は
U={(t_1×x_2)∪(x_1×t_2);x_1⊂X_1,x_2⊂X_2}という形になってますよね。
ここでx_1やx_2は必ずしもT_1やT_2の元とは限らないわけですよね。
なのでこのUは∪[g∈G]g;G⊂T_1×T_2には含まれませんよね。
どうすればLとMが合致しますでしょうか?
それとも直積位相は2個の直積集合の場合と3個以上の直積集合の場合とでのそれぞれ直積位相の概念は異なるのでしょうか?
補足
じゃあ、A=｛1，2，3｝ B=｛1，2｝として、A×Bの直積集合の元の個数は6個と言うことですね。 それと、問題で出されたのですがA×Bに属する元（多分A×Bを構成する要素の事を言っていると思うのですが）の個数は上のA，Bを使うと5個でいいのですね。