集合論の直積

質問

集合論の直積でつまずいています．和集合などはベン図に描いて理解しやすいのですが，直積に関してはイメージも沸かず，困っています．

以下は，○か×かどちらになるかの理由を考えていますが，解らない状態です．どなたか集合論にお強い方，お知恵を拝借させてください．

1.(Π_[i∈N]Ai)^c=Π_[i∈N](Ai)^c
2.A*(∪_[i∈N]Bi)=∪_[i∈N](A*Bi)
3.A^c*B^c*C^c⊂(A*B*C)^c
4.任意のi∈NについてAi⊂Biであれば，Π_[i∈N]Ai⊂Π_[i∈N]Bi
5.Π_[i∈N]Ai=φ⇒∀i∈N,Ai=φ

回答No.2

take008

直積のイメージを沸かせましょう。

Ａ，Ｂが実数Ｒの集合，それも区間だとします。
Ａ＝{x|a<x<c}，Ｂ＝{y|b<y<d}
すると，
Ａ×Ｂ={(x,y)|a<x<c, b<y<d}
は長方形です。

ご質問の問題は，多数の直積や和集合についてですが，
まず２つの集合，それも実数の区間，の場合を考えてみましょう。
それで○か×かわかったら，一般の場合を考えればいいでしょう。

お礼

ありがとうございました．集合の数を少なくした場合で考えて，一般化への理解につなげていく．とてもためになりました．

回答No.1

yuntanach

一般に、集合Aと集合Bがあるとき、A×B≠B×Aです。
(ただし、例外的に圏論などで集合間の関係のみに
着目して、元には言及しない場合にはその限りでは
ないこともあるそうです。)
直積は一部の例外を除いて可換ではありません。

要するに、直積の順序が変わると別物になるわけ
ですから、１、２、３についてはすぐに答がでると
思いますが、いかがでしょうか。

４については、
Π_[i∈N]AiからAiをとるi成分への射影piを考えると
いいのではないかと思います。

いま、ai∈Ai、bi∈Biとして、
Π_[i∈N]Ai⊂Π_[i∈N]Biでなかったとしたら、
ある(a1,a2,...,an)∈Π_[i∈N]Aiで
(a1,a2,...,an)∈Π_[i∈N]Biでないものが
存在することになるので、ある成分jについて
pj(a1,a2,...,an)=ajが、pj(Π_[i∈N]Bi)=Bjに
含まれないようなものが存在することになります。
このことから４は○ということになるのではないかと
思います。

５は、Π_[i∈N]φをφと書くことにするという前提
ですすめますが、あるAiがφでなかったとしたら、
４と同様に成分の射影を考えると、直積の成分が
違うなら直積全体も違うものなので、
Π_[i∈N]Ai≠Π_[i∈N]φとなるのだと思います。
よって、５も○ではないかと思います。

私の理解では、直積とは各成分の集合の総当りの
ことなので、例えば二つの集合の直積ならエクセルなどの
表のセルのように平面上に整然と並ぶようになります。
そして、三つ以上の集合の直積は、二つづつの直積の
積み重ねに分解できるので(うえで述べたように可換では
ないですが、しかし結合的です)、基本は二つの直積です。
よって直積どうしの比較とは、平面の比較という
ことになるわけなので、そのようにイメージすると
考えやすいのではないでしょうか。

お礼

エクセルの表を使った集合の直積の理解，なるほどと感激しました．
ありがとうございました！