U字管と粘性率（減衰振動について）

質問

物理の問題です！結構ピンチで何とかしなくてはいけないので、みなさんよろしくお願いいたします★

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太さ一様の、細い円管中を、粘性率ηの縮まない流体が流れるとき、単位時間当たりの体積流量Qが、両端の圧力p1,p2、管の半径a、管の長さをLとして

Q＝{π(p1-p2)a^4}/8ηL　・・・・・（１）

となるそうです。このとき、U字管のなかに、長さ２Lで密度ρ、粘性率ηの液体を、左右の表面の高さがｈ違う状態を初期状態としておいたとき、

問１　どのような運動をするか？
問２　いかなる時刻もｈが負にならない最大の管の半径はいくつか
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問１は、減衰振動をして、左右の高さが同じになるところに収束するんだと思います。

問2は、「管が細いと、振動をしないまま左右の高さが同じになっちゃうから、その最大の管の半径を求めてよ！」ってことですよね？

問１も問２もイメージはできるのですが、数式化できません！！

速度に比例する抵抗力（ボールを投げた時の空気抵抗みたいなもの！？）が働くんだ、っていうことは想像つくのですが、（１）式から、どのように数式化したらよいのか意味不明すぎます！

どなたか物理や数学に詳しい方・・助けてください・・！！★よろしくお願いします！！(*_*)

回答No.2

chiezo2005 · ベストアンサー

＃１です。
>(p1-p2)×断面積　は、どうして抵抗力に相当するのでしょうか！？
流体にはたらく普通の力のような気がするのですが・・・

「相当する」は「大きさが等しい」という意味でつかいました。
(p1-p2)×断面積は確かに普通の力です。

ここで必要になるのは流体の運動と抵抗力の関係です。
（１）式からその関係を導く必要があります。
この（１）式はQの運動がおこっているときに、その運動を維持するのに必要な普通の力が抵抗力とつりあっているという式です。
したがって、Qの運動しているときには抵抗力として(p1-p2)×断面積が生じていることになります。

＞右辺の圧力差が負なら、左辺の速度も負ですよね！？
座標の向きの定義は正しく考えて計算すればよいことなので、
よく考えて設定してください。
この場合もp1,p2の圧力の点と液面の座標をどうとるかで正負どっちも
ありえますので・・・

回答No.1

chiezo2005

この問題の場合、式を立てる上で考えないといけないことは
１．流体の柱の慣性、
２．流体の抵抗力と速度の関係の2つです。

１は、流体の長さ２L、密度と半径がわかるのですぐに出ますね。

２は
（１）式の意味が、圧力さp1-p2が働いた場合にはQの流量になったときに
抵抗力が釣り合うという意味です。
これから、Q=速度×断面積です。
右辺は（p1-p2）×断面積の部分が長さLの流体に対する抵抗力に相当します。
ここから速度と抵抗力の関係がでます。

となると運動方程式は
質量×加速度＝流体に働く重力による力+抵抗力
でたてることができます。
抵抗力は速度に比例するようですので、普通の減衰振動の方程式なると思います。

お礼

ありがとうございます★

(p1-p2)×断面積　は、どうして抵抗力に相当するのでしょうか！？
流体にはたらく普通の力のような気がするのですが・・・

あと、(1)式だと、力のベクトルと速度のベクトルの方向が同じになってしまう気がするのですが！？右辺の圧力差が負なら、左辺の速度も負ですよね！？