ベクトル

質問

2点P,Qは平面上の原点Oを中心とする半径１の円周上を動く。

　→　→　　→　　→
　p = OP, q　= OQ とし、A(1,0), B(0,1)とするとき、次の問いに答えよ。

→　→　→　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　→→ 　　　　　 →　→
　p + q = OR である点Rが直線AB上にあるようにP,Qが動く時、 p, qが最大となるp と qを求めよ

分からないのです。わからんのです。解法お願いします。

回答No.1

info22_ · ベストアンサー

ベクトルを表すのに
英数字の上に→を書きづらいので
英数字の後ろに↑を書くことにします。

点Rは直線AB：y=1-x...(1) 上にあるので
OR↑=OP↑+OQ↑=(a,1-a) ...(2)とすると
直線OR:ay=(1-a)x ...(3)
Rの動く範囲は直線AB上で、原点Oからの距離が2以下の範囲
(図の線分CD上）です。
点P,点Qは、線分ORの垂直2等分線:
(1-a)(y-(1-a)/2)=-a(x-a/2)　...(4)
と円:x^2+y^2=1...(5)との２つの交点である。

>p↑, q↑が最大となるp と qを求めよ
これは「内積 p↑・q↑が最大となるp と qを求めよ」
でしょうか？

もしそうなら
|p↑|=|q↑|=1であるからcos∠POQが最大となればよい。
つまりcos∠POQ=1つまり∠POQ=0°であれば良い。
このときOP↑=OQ↑=(1/2)OR↑となる。
つまり |OR↑|=線分OR=2　である。
(2)より
　√{a^2+(1-a)^2}=2 ...(6)
これから
　2a^2-2a-3=0
　a=(1±√7)/2 ...(7)
内積が最大の2の時、

OR↑=((1+√7)/2,(1-√7)/2)より
(この時の点Rの位置が図の点Cの位置)
p↑=q↑=(1/2)OR↑=((1+√7)/4,(1-√7)/4)
または
OR↑=((1-√7)/2,(1+√7)/2)より
(この時の点Rの位置が図の点Dの位置)
p↑=q↑=(1/2)OR↑=((1-√7)/4,(1+√7)/4)
これらの時の点P、Qの位置を添付図上の青点で示しました。

お礼

理解するのに少々手間取りましたが、とても丁寧な解説で感謝しています。

回答No.2

USB99

＞ p, qが最大となるp と qを求めよ

定義より|p|＝|q|＝１だから、最大も最小も１でしょう。

何が問題かすら不明。