ハーゲン・ポアズイユ流れの式について

質問

こんにちは。
さっそく質問させていただきます。

半径aのまっすぐな円管を考える。このときの層流の流速分布は

u(r)=g*I/4ν(a^2-r^2)・・・・・(1)

である。この式を流量Qの形にすると、

Q=（πgI /8ν）*a^4・・・・・(2)

となる。(1)の式から(2)の式を導けという、問題です。

半径a　層流分布u(r) 重力加速度ｇ　動粘性係数ν　動水勾配I

です。

いくら考えても、全く解くことができません。
どなたか、導くための式を教えてください。よろしくお願いします。

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回答No.1

genso-cake · ベストアンサー

まず、流速と流量の関係から。
もし流速が円管内で変化がなければ、Q=(πa^2)*uとなり、
流速に円管の断面積を掛けたものになります。

これを踏まえて、この問題を考えていきます。

円管の断面に半径rの円を想像してください。
式(1)より、同じ半径であれば同じ流速ですから、
この円上では同じ流速になります。

次に半径方向に微少なdrだけ大きい円を考えます。
少し大きいだけですから、ここの流速も半径rと同じと考えます。

では、r ～ r+dr の流量を求めてみましょう。
(たまねぎの1枚なんて想像するといいかも)
最初にあげた流量の変化がないときのから類推すれば、
u(r) * A (A:は断面積)が流量になることがわかります。

Aを求めます。2つの同心円の面積の差ですから、
π(r+dr)^2 - πr^2 とわかります。
計算すると、2π r dr + π dr^2になりますが、
dr^2は微少な数の2乗ですから、0とします。(←ここ重要)
したがって、A = 2π r drになりました。

これでr ～ r + dr の流速がわかりました。

これを区間0→aで積分すれば、管内の流量がわかります。

Q = ∫u(r) * 2π * r * dr 区間[0->a]

あとは高校レベルの積分問題です。
結果は、上の式と合致するはずです。

お礼

たいへん分かりやすく説明していただき、ありがとうございました！
問題を解くことができました。