粘性率がある斜面上の小球の運動

質問

図のように球が抵抗を受けながら斜面を転がるときの　最終到達速度がv(∞)＝mgsinθ/6πηr　(質量m[kg],粘性率η[Ns/m2],球の半径r[m])と表せるとき、小球の速度が最終到達速度の99.99％になるときの時間tがｔ＝0.4886m/ηr[秒]になると書いてあるのですがtの証明がわかりません。どなたかわかる人がいましたらご教授ください。　よろしくお願いします。

回答No.1

gohtraw · ベストアンサー

この物体の運動方程式はｄｖ／ｄｔ＝ｇｓｉｎθ－λｖ／ｍ
変数分離して１／（ｇｓｉｎθ－λｖ／ｍ）ｄｖ＝ｄｔ
積分してｔ＝－ｍ／λ・ｌｏｇ（ｇｓｉｎθ－λｖ／ｍ）＋ｃ
ｇｓｉｎθ＝λｖ（∞）／ｍなので
ｔ＝－ｍ／λ・ｌｏｇ（λ（ｖ（∞）－ｖ）／ｍ）＋ｃ
ここでｖ＝ゼロであるときとｖ＝０．９９９９ｖ（∞）である時の時間の差を求めると
－ｍ／λ・（ｌｏｇ（λ＊１０＾－４＊ｖ（∞）／ｍ）－ｌｏｇ（λ＊ｖ（∞）／ｍ））＝－ｍ／λ・ｌｏｇ（１０＾－４）
　　　　　≒９．２１ｍ／（６πηr）
　　　　　≒０．４８８６ｍ／ηr

お礼

助かりました。ありがとうございます！