関数の連続の例題について教えてください。

質問

問題
f(x)=x^2がΩ=R上で連続であることを示せ

上記の例題についてなのですが、任意のa∈Ωにおける|x-a|＜δなるδ(a,ε)がうまく決定できません。自分で考えた限りだと

|f(x)-f(a)|
＝|x+a||x-a|
＜|x+a|δ
≦(|a|+|x|)δ

今|x|-|a|≦|x-a|＜δだから|x|＜|a|+δなので
|f(x)-f(a)|＜(2|a|+δ)δ
ここで(2|a|+δ)δ≦εとなるようにδを設定すればいいのだからδについての二次方程式を解けばいいだけ・・・と思ったのですが、
本にはそれでもいいけど、それだと一般的に使えないから別の方法で考えると書いてあり、
------------------------------------ここから本の記述で、
まず適当に
0＜δ≦1　・・・(1)
だと思ってみると
(2|a|+δ)δ≦(2|a|+1)δ　・・・(2)
となるので
0＜δ≦1かつ(2|a|+1)δ≦εを同時に満たすδ＞0　・・・(3)
とすればこれは目標が達成されるので
δ=min{1,ε/(2|a|+1)}　・・・(4)
とすればいい。
------------------------------------というようなことが書いてあります

まずなぜ唐突に(1)が出てきたのかがわかりません。適当でいいならば0＜δ≦10000000や0＜δ≦0.000000001を(1)としてもいいのでしょうか？
さらに(1)ならば(2)が成り立つことはもちろん理解できますが、(1)と(2)から(3)が出てきた理由も(3)がなぜ(2|a|+δ)δ≦εと等価であるのかもわかりません。

今日一日考えたのですがわかりませんでした。どなたかご教示いただけませんでしょうか？よろしくお願いいたします。

回答No.1

gef00675

出来上がった証明というものは、発見的考察（途中いろいろ考えた経過）をすっとばして、必要最小限しかかかないものなので、確かに、面食らうかも知れませんね。私もはじめて勉強したときはそうでした。

＞まずなぜ唐突に(1)が出てきたのかがわかりません。
極限をとる際のδとしては、大きいほうには興味がなく（実際、考えてみたところで使えない）、小さいところだけが問題になるので、結論を示すに十分な範囲として0＜δ≦１にしてみただけのことでしょう。
0＜δ≦10000000と、大きくとっても意味がありませんが、
0＜δ≦0.000000001のように、思いっきり小さくとる分には問題ありません。

＞(3)がなぜ(2|a|+δ)δ≦εと等価であるのか
目標とする不等式の最右辺を評価したものが、任意に小さくできること、つまり
|f(x)-f(a)| < (2|a|+δ)δ≦ε　→０　（ε→０）
をいいたいだけなのです。この式をながめれば、εをどれだけ小さくしても、この不等式をみたすようなδをとることができるのは明白です。δの存在を示すのが証明のキモですから、そういうδを具体的にどう表すかといわれたら、
δ=min{1,ε/(2|a|+1)}
とすれば、十分でしょう。もちろん、δをこれより小さい数にしても、よいわけです。