関数の連続・不連続について

質問

こんばんは。青チャート３Ｃ，Ｐ７３，基本例題の４３です。
　問題　－１≦ｘ≦２とする。次の関数の連続性について調べよ。
（３）　ｈ（ｘ）＝〔ｘ〕　　　ただし，〔　〕はガウス記号とする。
　自分で他の本などで調べたのですが、全体がわかりません。わかる方
教えてください。よろしくお願いします。

回答No.2

morizoh · ベストアンサー

ある点x0へ、どの方向から近づいていっても（極限を取っても）、関数が同じ値に収束するとき、その関数はx0で連続であるといいます。
例えばf(x) = x+2という関数で、x=0へ近づいていってみましょう。
プラスから近づいていっても、マイナスから近づいていっても、関数f(x)は2に収束します。
なのでf(x)は、x=0で連続であると言えます。
当然と言えば当然ですね。笑

つまり連続性を調べるときは、連続かどうか怪しい点で極限を求めてみればいいわけです。
ここでは、ガウス記号の性質から、xが整数となるときに連続かどうか怪しいので、そこの極限を調べます。

ガウス記号の定義も念のためにおさらいしておくと、
整数nに対して、n ≦ x ＜ n+1 のとき、[x] = n
となります。不等号に＝がついているかどうかが、この問題の鍵になります。

さて、試しにx=1に近づいていってみましょう。

まず1より大きいところから近づいていく場合、1に限りなく近づいてもxは必ず1より大きいので、1 ≦ x ＜ 2を満たします。
なので大きいところから近づく場合、[x] = 1となります。

次に1より小さいところから近づいていく場合、1に限りなく近づいてもxは必ず1より小さいので（極限は、限りなく近づいても等しくなりません）、0 ≦ x ＜ 1を満たします。
なので小さいところから近づく場合、[x] = 0となります。

近づく方向によって、h(x) = [x]の値が変わってしまいましたね？
なので、h(x)は不連続となります。

お礼

大変参考になりました。どうもありがとうございました。

回答No.1

koko_u_u

連続性について調べるには、まず連続性とは何かを知っていなければなりません。

はい、連続性の定義を補足にどうぞ。

補足

すみません、わかりません。