ε-δの例題がわかりません・・・

質問

先日からε-δの例題に取り組んでいるのですが解答がなくあってるのかどうかもわかりません・・・

(1)f(x)=x^{3} Ω=R
(2)f(x)=1/(x^{2}) Ω=R＼{0}
(3)f(x)=√x Ω=[0,+∞)

なのですが、
(1)
任意のε>0において、δ=min{1,ε/(|3|a|^{2}+3|a|+1|)}とする。
任意のa∈Ωにおいて、x=aでf(x)が連続であることを示す。
|x-a|<δなるx∈Ωにおいて、|x|-|a|≦|x-a|<δだから、|x|<|a|+δであることを考えて

|f(x)-f(a)|
=|x^3-a^3|
=|x^{2}+ax+a^{2}||x-a|
<|x^{2}+ax+a^{2}|δ
≦(3|a|^{2}+3|a|δ+δ^{2})δ
≦(3|a|^{2}+3|a|+1)δ≦ε
したがって|x-a|<δであるとき|f(x)-f(a)|<εであること
つまり、f(x)=x^{3}がΩにおいて連続であることが示せた。

(2)
任意のε>0において、δ=min{|a|/2,(|a|/2)ε}とする。
任意のa∈Ωにおいて、x=aでf(x)が連続であることを示す。
|x-a|<δなるx∈Ωにおいて、|x|-|a|≦|x-a|<δだから、|x|<|a|+δであることを考えて

|f(x)-f(a)|
=(|x+a||x-a|)/(|x|^{2}|a|^{2})
<(|x+a|)δ/(|x|^{2}|a|^{2})
<((|x|+|a|)δ)/(|x|^{2}|a|^{2})
<(2|a|+δ)δ/(|a|^{2}(|a|-δ)^{2})
≦(2/|a|)δ≦ε
したがって|x-a|<δであるとき|f(x)-f(a)|<εであること
つまり、f(x)=1/(x^{2})がΩにおいて連続であることが示せた。

これで、正しく解答できていますでしょうか？

あと、(3)なのですが、良いδを作って|f(x)-f(a)|<Cδ=εみたいな形にしてしまいたいのですが、うまく作れません・・・ヒントをいただけませんでしょうか？
よろしくお願いいたします。

回答No.2

yamori2009 · ベストアンサー

いいと思います
(3)ですが、
|√x-√a|=|x-a|/(√x+√a)
<δ/(√x+√a)
≦δ/(2√(a-δ))
ですから
δ/(2√(a-δ))<ε
をといて
0<δ<2ε(√(ε^2+a)-ε)
また、0<a-δも必要ですから
δ=min{a,2ε(√(ε^2+a)-ε)}
と取ればよいです

回答No.1

rabbit_cat

まあ、いいのではと思います。
(3)は、高校でやる、有利化てやつですかね。
√f(x) - √f(a)
の分子分母に、√f(x) + √f(a) をかけて。

ちなみに、平均値の定理とか使っていいなら、f(x)=x^α の形の関数を一気に証明できると思いますが、連続性を証明するのに、平均値の定理を使うのは反則というか循環論法かな。