2次関数の条件付き

質問

x、yの間にx^2+y^2=1という関係があるとき、3x+4yの最大と、最小を求める。という問題なんですけど、x^2+y^2=1が3x+4yの時の最大と最小を出すってことですが？グラフを書こうにも、何のグラフが必要なのかもわかりません。何をしなければいいのかもわかりません。できるだけわかりやすくこの問題の考え方、解き方を教えていただけませんか？

回答No.2

info22 · ベストアンサー

「x^2+y^2=1…(1)」のグラフを描いて下さい。
3x+4y=kとおいて
「y=-(3/4)x+k/4…(2)」のグラフを
(1)と交点を持つようにkを選んで描いて下さい。
そして、kを大きくして行くと(2)が(1)と一点（接点）で接します。
このときのkが求める「3x+4y」の最大値になります。
最大値を与えるx,yは接点の座標で与えられます。

またkを減らしていくと(2)のグラフが(1)と一点で接します。
このときのkが求める「3x+4y」の最小値になります。
最小値を与えるx,yは接点の座標で与えられます。

数式的には(2)と(1)が交点を持つ条件、つまり(2)を(1)に代入して
xの2次方程式を出して、xの実数条件として判別式D≧0
からkの二次不等式が出てきますから、それを解けば
k(min)≦k≦k(max)
の形になり
k=3x+4yの最小値k(min)と最大値k(max)
が求められます。

質問があれば解答の途中計算を書いて、分からない箇所をきいて下さい。

お礼

何か無駄にいろいろ考えすぎたみたいです。大変わかりやすく、言葉では言い表しようのない感謝でいっぱいです。ほんとうにありがとうございました。また何かありましたら、その時も手解きの程よろしくお願いいたします。

回答No.1

soixante

＞グラフを書こうにも、何のグラフが必要なのかもわかりません
・・と言ってないでまず書いて考えて見ましょう。

x^2+y^2=1 のグラフ書けますか？
書き終わったら、そのグラフ上の点が、x^2+y^2=1　を満たしていますね。

次に 3x+4y の最大・最小を出すんですよね。だったら、
3x+4y=k とでも置いてみます。
変形して、　y= -3/4x + k

このグラフを書いてみる。

とにかくいろいろ手を動かしながら考えてみるとよいです。

お礼

素早いアドバイス、大変感謝いたします。ゴールデンウィークにも関わらず、ご回答していただき感無量でございます。またの機会も是非とも、よろしくお願いいたします。