ランダムウォークに関する条件付期待値

質問

Z(t)=Σ〔i=1～t〕ε(i)

ε(i) は 1/2の確率で 1 か -1 の値をとります。
また、ε(i)とε(j) (i≠j) は互いに独立です。

このとき、
E[exp( aZ(t) )] = Π〔i=1～t〕E[exp( aε(i) )]
= Π〔i=1～t〕{exp(a)+exp(-a)}/2
= Π〔i=1～t〕cosh(a)
= cosh(a)^t
となるのは分かりますが、

E[ exp( aZ(T) ) | Z(t)=k ] 　(条件付期待値) ( T > t のとき)

はどのように計算すればよいのでしょうか？
答えは　exp(ak)*cosh(a)^(T-t)
となるようですが、導出できません。
よろしくお願いします。

回答No.1

noname#227064 · ベストアンサー

E[ exp( aZ(T) ) | Z(t)=k ]
= E[ exp( aΣ〔i=1～T〕ε(i) ) | Z(t)=k ]
= E[ exp( aΣ〔i=1～t〕ε(i) + aΣ〔i=t+1～T〕ε(i) ) | Z(t)=k ]
= E[ exp( ak + aΣ〔i=t+1～T〕ε(i) ) | Z(t)=k ]
= exp(ak) * E[ exp( aΣ〔i=t+1～T〕ε(i) ) | Z(t)=k ]

ここまでくればわかるでしょうか？

お礼

Z(T)-Z(t) と Z(t) は独立なので、条件が取れるということですね。
わかりました。ありがとうございました！