次の積分のやり方、解答を教えて下さい。

質問

∫[-∞,∞]exp(-(ak)^2)exp(-i(ω+vk)t)exp(i(k+m)x)dk

お願いします。

回答No.1

kiyos06

0) ∫ [-∞,∞] e^(-(ak)^2) e^(-i(ω+vk)t)) e^(i(k+m)x) dk
1) (0)=I1 とする。
1.1)I1 =e^(i(mx-ωt)) ∫ [-∞,∞] e^( -(ak)^2 +i(x-vt)k ) dk
2)I1 =e^(i(mx-ωt)) I2, k =y/aとする。
2.1)I2 =1/a ∫ [-∞,∞] e^( -y^2 +i(x-vt)/a y ) dy
3)I2 =I3/a, (x -vt)/a =-2bとする。
3.1)I3 = ∫ [-∞,∞] e^( -y^2 -2iby ) dy
4)I3 = ∫ [-∞,∞] e^( -(y+ib)^2 -b^2 ) dy
5)I3 =e^(-b^2) ∫ [-∞,∞] e^( -(y+ib)^2 ) dy
6)I3 =e^(-b^2) I4, y +ib =zとする。
6.1)I4 = ∫ [-∞+ib,∞+ib] e^(-z^2) dz
7)I4 = ∫ [-∞+ib,-∞] e^(-z^2) dz + ∫ [-∞,∞] e^(-z^2) dz + ∫ [∞,∞+ib] e^(-z^2) dz
8)I4 = ∫ [-∞,∞] e^(-z^2) dz
9)I4^2 = ∫ [-∞,∞] e^(-z^2) dz ∫ [-∞,∞] e^(-w^2) dw
10)I4^2 =I5, z =r cosθ, w =r sinθとする。
10.1)I5 = ∫ [0,∞] ∫ [-π,π] e^(-r^2) r dθ dr
11)I5 =2π ∫ [0,∞] e^(-r^2) r dr
12)I5 =π ∫ [0,∞] e^(-r^2) dr^2
13)I5 =π