期待値、分散、共分散が出せなくて困っています。

質問

現在大学で金融工学を専攻しているものです。数学力がなく以下の問題が解けません。

dq(t)=-γq(t)dt+σdW(t)
γ>=0、W(t)は標準ウイナー仮定です。
を初期値q(0)=q0で解いて、
q(t)=exp{-γt}q0+σ∫[0,t]exp{-γ(t-s)}dW(s)
を導出することはできたのですが、これからr(t)=μτ+q(t)-q(t-τ)の期待値、分散、共分散を導出することができなくて困っています。
答えは
E[r(t)]=μτ
Var[r(t)]=σ^2/γ(1-exp{-γτ})
Cov[r(t1),r(t2)]=-σ^2/(2γ)exp{-γ(t2-t1-τ)}(1-exp{-γτ})^2 　　t1+τ<=t2
となるそうです。。。どなたか教えてください。宜しくお願いします。

回答No.1

saus

参考URLの、「期待値と分散を求めよう。」
以下、分散と期待値が求められています。この期待値と分散を理解するためには、伊藤積分を理解しなければいけません。抜粋しますが、
正規分布に従うN(0,σ)の、積率母関数は、
E(exp(ux))=exp(μu+σ2u2/2)
であるからという感じにごく当たり前のように厄介な計算式を飛ばしています。
dWは正規分布に従いN(0,t-s)であるので、積率母関数は、
E(exp(ux))=exp(μu+σ2u2/2)
という表現が、伊藤の補題３にあります。求めるべくr(t)にもdWがあります。それで、上の表記のσを類推して答えを出すのだろう、という辺りまでは分かりました。
Covを求めるにあたっても、伊藤の定理をつかえばいいということが参考URL にかれています。
数学に関してかなりできても、こんなもんです。意味も途中式も時間さえあれば理解できますけど、統計って訳がわからないですね。がんばってください。

参考URL：

http://www1.parkcity.ne.jp/yone/added/mathB03_90_03.htm