ランダムウォークに関する期待値の計算

質問

Z(t)=Σ〔i=1～t〕ε(i)

ε(i) は 1/2の確率で 1 か -1 の値をとります。
また、ε(i)とε(j) (i≠j) は互いに独立です。

このとき、

τ(x)=inf{t|Z(t)=x} ( Z(t)=x となる最小の時間 )

とします。
例えば、τ(3)=5 とは、5回目で初めて3に到達する事象を表しています。

最終的に求めたいのは、
f(x)=E[e^( -aτ(x) )] (x≧0) としたときの
f(x+2),f(x+1),f(x)の間に成立する関係式です。
答えは、f(x+2)-2e^(a)*f(x+1)+f(x)=0 となるそうです。

まず、考えたことは
E[τ(x)],E[τ(x+1)],E[τ(x+2)]の間に成立する関係式を導こうということで、
以下のような漸化式を作りました。

E[τ(x+2)] = E[τ(x+1)] + E[τ(1)]
E[τ(x+1)] = E[τ( x )] + E[τ(1)]

両辺引いて、
E[τ(x+2)]-E[τ(x+1)] = E[τ(x+1)]-E[τ(x)]

ここからどうすればいいのかわかりません。
そもそもここまでの考え方がまちがっているのでしょうか。
よろしくお願いします。

回答No.1

noname#227064 · ベストアンサー

> E[τ(x+2)]-E[τ(x+1)] = E[τ(x+1)]-E[τ(x)]

この関係式は間違っています。
E[τ(x+2)] - 2 * E[τ(x+1)] + E[τ(x)] + 2 = 0
となるはずです。
もっとも、正しい関係式が得られたとしても、

> ここからどうすればいいのかわかりません。

とあるように、

> f(x)=E[e^( -aτ(x) )] (x≧0) としたときの
> f(x+2),f(x+1),f(x)の間に成立する関係式

を求めることはできません。

τ(x), τ(x+1), τ(x+2)の確率関数がそれぞれg(τ), h(τ), k(τ)であった場合、g(τ), h(τ), k(τ)の間にどういう関係があるかわかりますか？

補足

ご回答ありがとうございます。
少しわかりました。

τ(x)：初めてxに達する時間 確率密度関数：g(t)
τ(x+1)：初めてx+1に達する時間 確率密度関数：h(t)
τ(x+2)：初めてx+2に達する時間 確率密度関数：k(t)

とすると、
h(t)=1/2 * g(t-1) + 1/2 * k(t-1)
が成り立ちます。

したがって、
f(x+1) = E[e^( -aτ(x+1) )]
= Σ[t=1～∞]e^(-at)*h(t)
= Σ[t=1～∞]e^(-at)*{1/2 * g(t-1) + 1/2 * k(t-1)} (★）
= 1/2*e^(a) Σ[t=1～∞]e^{-a(t-1)}*g(t-1)
+1/2*e^(a) Σ[t=1～∞]e^{-a(t-1)}*k(t-1) (▲)
= 1/2*e^(a) Σ[t=1～∞]e^(-at)}*g(t)
+1/2*e^(a) Σ[t=1～∞]e^(-at)}*k(t)
= 1/2*e^(a) f(x) + 1/2*e^(a) f(x+2)

ということでしょうか。
(★)から(▲)への変形は、明らかではないから完全ではないでしょうか？

回答No.2

noname#227064

> f(x+1) = E[e^( -aτ(x+1) )]
> = Σ[t=1～∞]e^(-at)*h(t)
> = Σ[t=1～∞]e^(-at)*{1/2 * g(t-1) + 1/2 * k(t-1)} (★）
> = 1/2*e^(a) Σ[t=1～∞]e^{-a(t-1)}*g(t-1)+1/2*e^(a) Σ[t=1～∞]e^{-a(t-1)}*k(t-1) (▲)
> = 1/2*e^(a) Σ[t=1～∞]e^(-at)}*g(t)+1/2*e^(a) Σ[t=1～∞]e^(-at)}*k(t)
> = 1/2*e^(a) f(x) + 1/2*e^(a) f(x+2)

e^(-a)とすべきところをe^(a)としているのを除けばそれでOKです。
これで、
f(x+2)-2e^(a)*f(x+1)+f(x)=0
となります。

お礼

ありがとうございました！