宿題の中でどうしてもさっぱり分からない極限値を求める問題が３問あるので

質問

宿題の中でどうしてもさっぱり分からない極限値を求める問題が３問あるので教えてください。

(一)lim(x→∞)sinx/x　答え0
(二)lim(x→1)(x^n)-1/x-1　答えn
(三)lim(x→∞)x(x-√x^2-a^2)　答えa^2/2

回答No.3

passport4000 · ベストアンサー

まず、解答を示します。

(1)-1＜＝sinx＜＝１が成立する。x≠0とすると、
　 -1/x<=sinx/x<=1/x
よって、はさみうちの原理から、lim(x→∞)sinx/x=0 .

(2)nを自然数とする。(x^n)-1=(x-1)(1+x+x^2＋…＋x^n-1)であるから、x≠1とすると、
　 (x^n)-1/x-1=1+x+x^2+...+x^n-1
故に、求める極限値はnである .

(3)与式の分母分子にx＋√x^2+a^2をかけてやると、x≠0のとき、
　a^2/1+√1-a^2/x^2
　となるので、a^2/x^2→0であることに注意すれば、a^2/2 .

結構、省略して書きました。以下にポイントを書いておきます。

(1)y=sinxの関数としての振る舞いをみて、はさみうちの原理にもっていく。

(2)等比数列の和の公式を用いて、因数分解できればカンペキ。

(3)分子を有理化する。

お礼

宿題出来て助かりました！ありがとうございました！

回答No.2

Tacosan

(二) が (x^n-1)/(x-1) のことなら, 素直に割ってしまうのが簡単じゃないかなぁ.

回答No.1

naniwacchi

こんばんわ。

それぞれ方針だけ。

(一) sin(x)はとりうる値が限られていますよね。あとは、はさみうちの原理で。

(二) t＝ x- 1とおくと、t→ 0と考えることができるので楽になります。
あとは、二項定理で。

(三) 分子の有理化をします。