167回数検準1級の問題６

質問

次のような出題がありました。わかる方、教えていただけませんか？

問題６（必須）
x+y+z+w=(1/x)+(1/y)+(1/z)+(1/w)=0　ならば、
x+y=0 または x+z=0 または x+w=0 が成り立つことを示しなさい。

回答No.1

mister_moonlight · ベストアンサー

（x+y）*（x+z）*（x+w）＝0を示すと良い。
展開してxにそろえると、x＾3＋（y＋z＋w）x＾2＋（xyz＋xzw＋xyw＋yzw）となるが、条件から　y+z+w＝-x、xyz＋xzw＋xyw＋yzw＝0から、x＾3＋（y＋z＋w）x＾2＋（xyz＋xzw＋xyw＋yzw）＝x＾3-x＾3＋0＝0.

お礼

早速のご回答ありがとうございます。
確からしい予感がします。
これから検算をしてみます。

回答No.3

htms42

ｘ＋ｙ＋ｚ＋ｗ＝０　　（式１）
(１／ｘ)＋(１／ｙ)＋(１／ｚ)＋(１／ｗ)＝０　　（式２）　

式２を変形して
(ｘ＋ｙ)/ｘｙ＋(ｚ＋ｗ)/ｚｗ＝０
式１より
ｘ＋ｙ＝－（ｚ＋ｗ）
(ｚ＋ｗ)(１／ｘｙ＋１／ｚｗ)＝０
∴ｚ＋ｗ＝０　または　１／ｘｙ＋１／ｚｗ＝０
ｚ＋ｗ＝０の時は式１よりｘ＋ｙ＝０
１／ｘｙ＋１／ｚｗ＝０のときは式２よりｘ＋ｙ＝ｚ＋ｗ
∴ｘ＋ｙ＝０

上の計算では１／ｘと１／ｙを組み合わせた。
しかし組み合わせは任意である。
１／ｘと１／ｚの組み合わせでやればｘ＋ｚ＝０が、
１／ｘと１／ｗの組み合わせでやればｘ＋ｗ＝０が得られる。

お礼

htms42様
ご回答ありがとうございました。
なるほどと思いました。
いろいろな解答があるものだと感じ入っております。

機会があれば、またよろしくお願いします。

回答No.2

mister_moonlight

解と係数の関係を使うなら。

y＋z＋w＝-x、 yw＋yz＋zw＝k　とすると、条件より　yzw＝-kxであるから、y、z、w　は　t＾3＋x*t＾2＋kt＋kx＝（t＾2＋k）*（t＋x）＝0の解である。
従って、y、z、wのうち、どれかは　-xに等しい。
つまり、x+y＝0 または x+z＝0 または x+w＝0。

お礼

mister_moonlight様

別解答も示していただきありがとうございました。

関係ないですが、ハンドル名を拝見するに、もしかしてビートルズ世代の方ですか？
小生はそれより下の世代ですが、すっかりメタボ中年です。
今回の数検はボケ防止のため受験してみました。
数学は、解けなかった悔しさまでもが楽しいです。

また、よろしくお願いします。