対称式の証明が出来ずに困っています。

質問

数学の問題が解けずに困っています！どなたか、お力をお貸しください。
問題は、以下のような問題です。

四つの正の数 x,y,z,w が与えられています。
それらは、x+y+z+w=1 を満たしています。このとき
{x^2/(x+y)}+{y^2/(y+z)}+{z^2/(z+w)}+{w^2/(w+x)} >= 1/2
を、示しなさい。

私は、以下のようにアプローチしました。ご参照ください。

まず、x >= y >= z >= w ・・・(1)
と仮定する。
x+y+z+w=1 を 2 でわって
(x/2)+(y/2)+(z/2)+(w/2) = 1/2
とする。
次に、左辺の各項のそれぞれの文字を分子、分母に掛ける
(x^2/2x)+(y^2/2y)+(z^2/2z)+(w^2/2w) = 1/2　・・・(2)
ここで、(1)から
2x >= x+y　・・・(3)
逆数を取って
(1/2x) <= 1/(x+y)
両辺に x^2 を掛けて
x^2/2x <= x^2/(x+y)
これを、(2)の各項で繰り返して
1/2 = (x^2/2x)+(y^2/2y)+(z^2/2z)+(w^2/2w) >=
{x^2/(x+y)}+{y^2/(y+z)}+{z^2/(z+w)}+{w^2/(w+x)}
としたかったのですが…

wについて、(3)をしようと思っても
2w >= w+x
が成り立たず、証明が不十分になってしまいます。

この証明方法でうまくいく方法は、無いでしょうか？最後の詰めだけうまくいけば、スマートな方法だと思うのですが…。

それとも、他に良い手がある場合には、ご教授願えればと思います。

皆様のお知恵をお貸しください。よろしくお願いいたします。

回答No.1

noname#101087 · ベストアンサー

x^2/(x+y) = x - xy/(x+y) とする手もあるけど。
xy/(x+y) <= 1/2 ？

お礼

回答ありがとうございます。

この場合、各項で
xy/(x+y) <= 1/2
が示せても、それぞれを足し合わせると不十分になってしまいませんか？　つまり
x^2/(x+y)}+{y^2/(y+z)}+{z^2/(z+w)}+{w^2/(w+x)}
　= x+y+z+w-{xy/(x+y)+yz/(y+z)+zw/(z+w)+wx/(w+x)}
と、各項での証明を足し合わせた時、右辺の中カッコ内が、1/2以下である保証が無い、という意味です。

私の考え違いかもしれませんが、いかがでしょうか？

回答No.2

Tacosan

ああ, その手で終わりなんだ＞#1.
(x-y)^2 ≧ 0 だし.