証明問題が分かりません

質問

こんにちは。
何度もこの証明をしようとしてるんですが、どうしても自分で納得のいく、証明が出せません。
誰かわかる方いらっしゃいませんか？

a 1 =2, a n+1=2+(1/a)　について、
aをa=2+(1/a), a>0 の解とすると、la n-al≦la n-1 -al/2a
を証明せよ。

回答No.2

rnakamra · ベストアンサー

最初の漸化式はa1=2,a_n=1+1/a_(n-1) (n>1)ですね。

まず、a_n(n>1)が"2"よりも大きいことはわかると思います。
(a_n>0であることから明らか)
a=2+1/aの解のうち正のものであるとすると、
2=a-1/aです。
これを漸化式の"2"に代入。
a_n = a-1/a+1/a_(n-1)
a_n-a = 1/a_(n-1) - 1/a = (a-a_(n-1))/(a*a_(n-1))
両辺の絶対値をとり、a_(n-1)が2以上(n-1=1の場合のみ"2"それ以外は2よりも大きい)を利用すれば証明できます。
等号の成立する場合は上記のことから明らかに．．．(以下略)

お礼

大変わかりやすい説明ありがとうございます。
漸化式が苦手な自分でも理解することができました。

回答No.1

Tacosan

素直に |a n - a| を計算するだけ, だよね.
「納得いかないけどとにかく証明がある」というなら, その「証明」を示したあとで「どこがどんな風に納得いかないのか」を書いてください.

お礼

ご指摘ありがとうございます。
今度から、気をつけたいと思います。