常微分方程式です。

質問

(1-x^2)y'+xy=x^2 (ただし、|x|<1 とする)
この式をy= の形で解きたいのです。
よろしくお願いします。

回答No.3

rousei · ベストアンサー

私も直接答えは出すことができなかったのですが、参考程度にみてやってください・・・

一階微分方程式
y' + P(x)y =Q(x)
において、一般解は

y=e^(-∫P(x)dx) ・　{ ∫Q(x)e^(∫P(x)dx)dx + c }

そうすれば

y'+xy/(1-x^2)=x^2 /(1-x^2)

と変形でき、上で言う
P(x)=x/(1-x^2) Q(x)=x^2 /(1-x^2)
としてかんがえることができます
ここで全てを代入するのはめんどうなので、さきに∫p(x)dxをもとめると、
∫p(x)dx

=∫x/(1-x^2)dx

= (-1/2)∫(1-x^2)'/(1-x^2)dx

=-1/2 log|1-x^2|

=-log√(1-x^2)
おそらく条件の|x|<1はこの絶対値を取れるようにするためでしょう。
さっそく代入です。すると、

y=e^(log√(1-x^2)) {∫x^2 /(1-x^2) e^(-log√(1-x^2)) dx +c}

です。logの定義からe^log(f(x))=f(x)ですから、
y=√(1-x^2){∫x^2 /{(1-x^2) √(1-x^2)} dx +c}

∫x^2 /(1-x^2)^(3/2) dx　****(イ)　について、x=sintとおくと、dx=cost dt
∫(sint)^2 costdt /(cost)^3

=∫(sint)^2dt/(cost)^2
=∫(tant)^2dt

もしこの積分のとき方がわかるなら解けます。ちなみにわたしはわかりませんでした（苦笑）あともしかしたらなのですが（イ）のような形をした積分の仕方がhttp://pc1.math.gakushuin.ac.jp/~stakeuchi/manuscript/2002w0625hojo2.pdf
の３に書いてあったのでそれをつかえばもしかしたら出来るのかもしれません。。

あまり参考にならなくてすいませんでしたm(_ _)m
がんばってください！

参考URL：

http://pc1.math.gakushuin.ac.jp/~stakeuchi/manuscript/2002w0625hojo2.pdf

回答No.6

rousei

＃３です
＃４さんのおっしゃる通りですね＾＾；初歩的なことを忘れていました・・・
＃４さんのやり方をふまえればあとはご自分で解けると思います。
がんばってください＾＾

回答No.5

samugari

＃1です。　ごめんなさい。完全な勘違いです。恥ずかしい。

回答No.4

oshiete_goo

#3さんの途中式
＞=∫(tant)^2dt
は
(tant)^2＝1／(cost)^2－1
より
＝∫(tant)^2dt
＝∫{1／(cost)^2－1}dt
＝tant－t＋C
でよいのではないでしょうか．
（話を誤解していなければ．）

回答No.2

nubou

ｙ’（ｘ）＋P(x)・ｙ（ｘ）＝Q（ｘ）
と
（ｙ（ｘ）・exp（∫ｄｘ・P(x)））’＝Q(x)・exp（∫ｄｘ・P(x)）
は等価です

補足

回答ありがとうございます。
やっぱりこの方法しかありませんかね。
私はまず、Ｑ（ｘ）＝０として、
ｙ’（ｘ）＋P(x)・ｙ（ｘ）＝０を解いてから、
次に特殊解を求める方法で非同次型の問題を解くのですが、
Ｑ（ｘ）＝Ｘ＾２／（１－ｘ＾２）だと特殊解が求められなかったので質問してみました。

回答No.1

samugari

(1-x^2)y'=x^2-xy
として、両辺をx-1で割る。（|x|<1 なのでOKですよね。）
(x+1)y'=-xy
y'/y=-x/(x+1)
として、両辺を積分というのでは？

補足

早速の回答ありがとうございます。
さらに質問ですが、

(1-x^2)y'=x^2-xy
として、両辺をx-1で割る

とありますが、その結果が (x+1)y'=-xy
になるのはナゼでしょうか？