微分方程式、解いてください

質問

（１）（Ｄ^(2)－３Ｄ＋２）ｙ＝cos^(2)ｘ

（２）（Ｄ^(2)＋４）ｙ＝ｘsin^(2)ｘ

（３）　ｘ^(2)ｙ″＋５ｘｙ′＋４ｙ＝ｘ

の３問について、すみませんが途中の式もお願いします。

回答No.2

a103net · ベストアンサー

（３）x=e^tと置くと、1=e^t*(dt/dx)
y'=dy/dx=(dy/dt)*(dt/dx)=(dy/dt)*e^-t
y''=(d^2y/dt^2)*e^-2t - (dy/dt)*e^-2tとなり、
x*y'=dy/dt　x^2*y''=(d^2y/dt^2) - (dy/dt)
この２式とx=e^t
ｘ^(2)ｙ″＋５ｘｙ′＋４ｙ＝ｘに代入すると
(d^2y/dt^2) - (dy/dt)　+　5*(dy/dt)+４＝e^tとなる。
(d^2y/dt^2) +　4*(dy/dt)+４＝０を解くと、
基本解はe^-2t,t*e^-2tとなる
特殊解をv(x)=A*e^tとおくと(1)と同様に
v"(x)+4v'(x)+4v(x)=e^tに代入して
A*e^t+4A*e^t+4A*e^t=e^t よりA=1/9
よって一般解はC_1*e^-2t+C_2*t*e^-2t+(1/9)e^t
x=e^tを使ってもとに戻すと
C_1/x^2+C_2*logx/x^2+(1/9)x
C_1,C_2は定数

回答No.1

a103net

（１）まず、（Ｄ^(2)－３Ｄ＋２）ｙ＝０の基本解を出します。
λ^2-3λ+2=0 λ=1,2 よってe^x,e^2xとなります。
次に未定係数法で特殊解v(x)を求めます。
cos^(2)ｘ=(1+cos2x)/2なので
特殊解は三角関数でv(x)=Acos2x+Bsin2x+1/4とおきます。
この１回微分は-2Asin2x+2Bcos2x
　　２回微分は-4Acos2x-4Bsin2x
v"(x)-3v'(x)+2=(1+cos2x)/2となるようにABを計算します。
最終的な答えは、C_1e^x+C_2e^2x+v(x)です。C_1とC_2は定数です。
特殊解のおき方を変えれば（２）もできます。