√2-√3-√5+√7+√11-√13<0の証明

質問

√2-√3-√5+√7+√11-√13<0
なのですが、これを計算機を使わないで証明するにはどうすればいいのでしょうか？

数値は適当なので、方針を教えていただきたいです。
根号が5つまでなら、同値変形で移項そして2乗を繰り返していくことによって、整数同士の大小に還元できます。
しかし、根号が6つだとどのように示していけばいいのでしょうか？

回答No.2

arrysthmia · ベストアンサー

√13 - √11
= (13 - 11) / (√13 + √11)
> 2 / (2√13)
= 1 / √13
より、

√2 - √3 - √5 + √7 + √11 - √13
< √2 - √3 - √5 + √7 - (1 / √13)
= (√26 - √39 - √65 + √91 - 1) / √13
となって、

√26 - √39 - √65 + √91 - 1 の正負に帰着される。
あとは、御存知の方法で。

お礼

みなさま、ありがとうございます。
とても巧妙な方法にすばらしいと思いますが、一般的な方法を探しています。

回答No.3

masa2211

＞√2-√3-√5+√7+√11-√13　の正負の証明
＞ただし数値は適当
適当といっても、整数が６個という条件ですね？
で、整数は、たとえば、√314159265358979というような、桁数の多い整数が混じっている場合も含むわけですね？
整数同士の大小に還元できたとしても、計算機を使わない限り無理と思います。
※開平で手計算という手段も計算機を使ったうちに数えるものとします。

回答No.1

Tacosan

全部筆算で開平する... ってのは (計算機は使ってないけど) 反則だよなぁ, やっぱり.

お礼

ありがとうございます。
別件で、
http://oshiete1.goo.ne.jp/qa2370104.html
における話題、√1+√2+√3+……+√100の整数部分において、
http://f45.aaa.livedoor.jp/~gyuuen/
から引用します。

【問題24】
(1) 微分可能で下に凸な関数f(x)と、その定義域内の点x=aについて、つぎを証明せよ。
f(x)≧f '(a)(x-a)+f(a)　；等号成立はx=aのみ。
(2) 下に凸な関数f(x)と、その定義域内の2点p,q (p<q)について、つぎを証明せよ。
∫[p,q]f(x)dx≦{f(p)+f(q)}(q-p)/2
(3) 閉区間[p-(1/2),p+(1/2)]で定義された下に凸な関数f(x)について、つぎを証明せよ。
f(p)≦∫[p-(1/2),p+(1/2)]f(x)dx
【問題32】
√1+√2+√3+ ...+√100の整数部分を求めよ。
【解答32】
y=√x は上に凸であるから、【問題24】(2)より、{√k+√(k-1)}/2≦∫[k-1, k] √x dx .
k=1,2, ...,100についての和をとると、√1+√2+√3+ ...+√99+(1/2)√100≦∫[0, 100] √x dx .
√1+√2+√3+ ...+√99+√100≦5+∫[0, 100] √x dx=5+(2000/3) < 671.67 ・・・☆
【問題24】(3)より、√k≧∫[k-(1/2), k+(1/2)] √x dx . k=1,2, ...,100についての和をとると、
√1+√2+√3+ ...+√100≧∫[0.5, 100.5] √x dx=67√100.5-√2/6
10.024 <√100.5<10.025, 1.4<√2<1.5 であるので、
√1+√2+√3+ ...+√100 > 67*10.024-1.5/6=671.358 ・・・☆☆
☆、☆☆より、整数部分は671.