整数問題と因数分解

質問

文字が出てくる式を変形する場合、もちろんその問題を解くための変形をしていくわけですが、因数分解などでよく戸惑ってしまいます。

例として

(a-1)^2-3b=a-1かつa,bはともに整数である。
このときaが満たす条件を求めよ。

整数問題ですから何か積の形を作るのかなと考えたりするのですがa(a～)という形にしてしまったりしてどうも変形が下手です。やっていただければわかると思いますがもちろんこれは3b=(a-1)(a-2)というように変形するみたいです。ただ整数問題だからといって積の形とは限りませんし、目標が定まらないのも一つの原因なんでしょうか？...整数問題のおおよそのポイントなどありましたら教えてください。（これはオマケ程度で構いません）

あとこれも式変形のパターンですが、ある行列の逆行列の存在を確かめるためにdetを計算して≠0を示そうとするのですが、(a≠0)

det=(a^2+bc+1)^2-4a^2bc

これを変形していくのですが、多分全ての項を偶数乗の形にしてしまい、そのどれか一つでも≠0であればよいと判断しました。しかし結局式変形がうまくいきません。解答には(a^2-bc-1)^2+4a^2≠0としていましたが、正直２項の平方を作れたとしても３項の平方は気が付く気がしません。いや方針を決めたのだからそれぐらい気付かなければならない、と思われるかもしれませんがせめて何か着目すべきポイントなどはないのでしょうか？例えば、文字が多い場合は次数の高い文字でくくっていくと何かみつけやすい、などです。

式の扱いについて練習不足だと言われれば確かにその通りかもしれませんが、せめて最初に手がかりとなる方法などあれば是非アドバイスいただきたいです！よろしくお願いします！

回答No.1

ryn · ベストアンサー

全てに通じるポイントをまとめるのは難しそうなので，
今の例についてだけ

まず，
　　(a-1)^2-3b=a-1
を積の形に変形したいときに，私の場合は
b が入ってる項は -3b の項だけなので
その項はとりあえずそのまま置いておこうと考えます．
すると
　⇔ (a-1)^2 - (a-1) = 3b
　⇔ a^2 - 3a + 2 = 3b
となるので，あとは左辺を因数分解するだけです．

もう一つの
　(a^2+bc+1)^2-4a^2bc
のように偶数上の和に持っていきたいときは
次数の小さい文字に着目したほうがやりやすいです．
b,c どちらでもいいので，今は b について整理します．
すると
　(bc)^2 + 2bc(a^2+1) + (a^2+1)^2 - 4(a^2)bc
= (bc)^2 + 2bc(a^2+1-2a^2) + (a^2+1)^2
= (bc)^2 + 2bc(1-a^2) + (a^2+1)^2
となります．
あとは，平方完成すれば自然と目的の形になります．

お礼

なるほど！そのように考えていけば確かに見つかりそうです！全部に通じるようなポイントなんてやはり中々無いですよね。その場その場で考える力をつけたいと思います！ありがとうございました！！

回答No.2

masudaya

回答になってないかもしれませんが,

(a-1)^2-3b=a-1

を見たときに思うのは,(a-1)という因子があるなぁ,
(a-1)で割ってみようかなぁ
共通因子でくくってみようかなぁ
・・・・

ということでした.

det=(a^2+bc+1)^2-4a^2bc

を見たときは,
めんどうそうだなぁというのが第一印象
とりあえず2項あるのでそれぞれが0となる条件は
簡単に求められるかなぁ,そんなに難しくなさそうだなぁ
(a^2+bc+1)^2=0の時は,bc=-(a＾2+1)≠0
4a^2bc=0のときはbc=0でとりあえず両立してないな
a^2,bcは面倒なのでx,yとするとx>0で
det=（x+y+1)^2-4xy=(x-y)^2+2(x+y)+1
:(x-y)でまとめたい
=(x-y)^2-2(x-y)+1+4x
:x>0がはっきりしているので,余計な項はxにしたい
=(x-y-1)^2+4x>0
という風に考えました.

じゃ具体的にはというとあんまりはっきりしませんが...あまり回答になってなくてすみません.

お礼

思考の順序を示していただきとてもわかりやすかったです！こういう考え方をいつも出来るように取り組んでいきたいとおもいます。ありがとうございました！