行列のベキ乗

質問

最小多項式が重解をもったり、固有値が虚数になる場合などの対角化不可能な整数の行列（たとえば２×２）のベキ乗の一般項を、手計算で求める方法はあるのでしょうか？

数値によっては、ケイリーハミルトンなどで次数を下げたときに、等差数列などに帰着できれば可能かと思いますが、、、。

回答No.4

adinat · ベストアンサー

いずれにせよn=2など特別の場合でなければ相当困難だと思います。困難というのはがんばれば不可能ではない、というぐらいの意味です。たとえジョルダン標準形を求めたとしても、ジョルダン行列のk乗はもはやジョルダン行列ではありませんので、n次正方行列の場合は、ベキ零行列をn乗以下した行列と対角行列のべき乗が複雑に入り組んだものが出てきます。この議論はある種の行列の収束の議論の役には立つこともありますが、直接n乗計算するのにはあまり向いていないような気もします。対角成分だけは綺麗ですけれど。

ケーリーハミルトンで次数下げというのはよい方法です。nが具体的に与えられた（あまり大きくない整数なら）役に立つと思います。

n=2（もっと一般にも無理ではないですが、複雑なので割愛）の場合は標準形のn乗は比較的簡単に計算できます。（以下少し行列がずれて見にくいかも）
[a_n　c_n]
[0 　b_n]
が行列Aのn乗だとしましょう。Aは
[a　1]
[0　b]
であるとします。A^{n+1}は
[a・a_n　a_n+b・c_n]
[0. 　b・b_n ]
となりますから(1,2)成分を計算すればよいですが、それは漸化式
c_{n+1}=a_n+b・c_n
をとくことに帰着されます。a_n=a^nに注意すれば、この両辺をa^{n+1}で割ってやって
c_{n+1}/a^{n+1}=(b/a)・(c_n/a^n)+1/a
となります。新たにd_n=c_n/a^nとおいてやればこれは線型二項間漸化式
d_{n+1}=(b/a)d_n+1/a
のことです。初項d_1=c_1/a^1=1/aとわかっていますから、これは計算可能です。あとは標準化した操作を逆にしてn乗の公式を得ます。

行列のランクが上がっていくと連立漸化式を解くことになりそうですが、うまく線形化できたとして、そして一つの数列に関して解けばn項間漸化式のようなものがでてきます。そもそもn次方程式を代数的に解くのがほとんど困難な場合しかない以上、一般には解くのが不可能な場合がほとんどなのではないかと個人的には思います。2×2じゃないときはコンピュータに任せるのが賢明なのではないかと。

お礼

詳細な回答と、具体的なご説明、
ありがとうございます。

２ｘ２の場合にはできるということですね。
ジョルダン化を勉強して試してみたいと思います。

回答No.5

keyguy

任意の正方行列Aは適当な正則行列Uとジョルダン標準形Jによって
A=U・J・U^(-1)
となります
A^n=U・J^n・U^(-1)
です
J1,J2,…を適当なジョルダン細胞とすると
J=diag(J1,J2,…)
です
そして
J^n=diag(J1^n,J2^n,…)

なおジョルダン細胞のn乗は2項定理の係数がでてきれいにもとまります

[a100]
[0a10]
[00a1]
[000a]

を2乗,3乗,4乗,…
していくと規則性が見えます

お礼

回答ありがとうございます。

一般的なｎ乗の形について、理解できたような気がします。
手で計算するのは難しそうですね。

回答No.3

onakyuu

>対角化不可能な場合は、ジョルダン化の後にｎ乗を
>計算することができるようになるということでしょ
>うか?

そのとおりです。
ジョルダン標準形について調べてみるとよいでしょう。

回答No.2

keyguy

おっしゃるとおり要素が整数の行列：

[0.5　1.0]
[0.0　0.5]

は要素が整数でない行列ですがこれを含まないと言うことならば私の回答はなかったことにしてください

回答No.1

keyguy

質問の意味が難解なので回答者がいません
たとえば整数の行列とは要素が整数の行列のことを言うのですがそうでない意味で使っているような気がします
対角化できなくてもジョルダン化はできます
ジョルダン細胞のｎ乗はきれいな式になるでしょう

お礼

回答ありがとうございます。

整数の行列とは、おっしゃるとおり要素が整数の行列です。
ジョルダン化は知らないのですが、対角化不可能な場合は、ジョルダン化の後にｎ乗を計算することができるようになるということでしょうか？