管理図について

質問

Xbar－R管理図において、
Xbar管理図は
ＣＬ＝Xbarの平均値
ＵＣＬ＝Xbarの平均値＋Ａ2bar
ＬＣＬ＝Xbarの平均値ーＡ2bar

Ｒ管理図は
ＣＬ＝Ｒbar
ＵＣＬ＝Ｄ4Ｒbar
ＬＣＬ＝Ｄ3Ｒbar
それぞれこのようになる。
ここでこの係数A2、D4、D3はどのように求められるのか、理論を教えて下さい。どうかよろしくお願いします。

回答No.2

noname#227064 · ベストアンサー

群の大きさが2の場合のRの分布は、簡単なので説明してみましょう。
確率変数X1, X2が実現値x1, x2となる確率は、f(x)をN(μ,σ^2)の確率密度関数とすれば、
f(x1)f(x2)dx1dx2
となります。Rの分布を求めたいので、x2 = x1+Rとおいて、
（この段階ではRの範囲は(-∞,∞)です）
f(x1)f(x1+R)dx1dR
これをx1について積分すると、
∫f(x1)f(x1+R)dx1
= ∫1/√(2πσ^2)*e^{-(x1-μ)^2/(2σ^2)}*1/√(2πσ^2)*e^{-(x1+R-μ)^2/(2σ^2)}dx1
= 1/√(4πσ^2)*e^{-R^2/(4σ^2)}*∫1/√(2π*σ^2/2)*e^[-{x1-(2μ-R)/2}^2/(2*σ^2/2)]dx1
= 1/√(4πσ^2)*e^{-R^2/(4σ^2)}
となるが、R>=0なのでこれを2倍にした
1/√(πσ^2)*e^{-R^2/(4σ^2)}
がRの確率密度関数となります。
したがって、群の大きさが2の場合のRの平均E(R)と分散V(R)はそれぞれ、部分積分することにより、
E(R) = ∫R/√(πσ^2)*e^{-R^2/(4σ^2)}dR
= 1/√(πσ^2)*∫(d/dR)[e^{-R^2/(4σ^2)}]dR
= 1/√(πσ^2)*[-2σ^2*e^{-R^2/(4σ^2)}][0,∞]
= 2σ/√π
= d2*σ
V(R) = ∫(R-2σ/√π)^2/√(πσ^2)*e^{-R^2/(4σ^2)}dR
= ∫R^2/√(πσ^2)*e^{-R^2/(4σ^2)}dR - 4σ^2/π
= 1/√(πσ^2)*∫R^2*e^{-R^2/(4σ^2)}dR - 4σ^2/π
= 1/√(πσ^2)*2σ^2*{∫e^{-R^2/(4σ^2)}dR-[Re^{-R^2/(4σ^2)}][0,∞]} - 4σ^2/π
= (2-4/π)*σ^2
= (d3*σ)^2
となる。
n>2の場合は、数値計算しないと求められません。
A2, D3, D4への換算については、No.1の方が記載されている通りです。

お礼

回答大変参考になりました。
またお礼が大変遅れまして申し訳ございませんでした。

回答No.1

jamf0421

詳しくはないのですが、大筋は以下の通りです。正規分布N(μ,σ^2)に従う母集団から、大きさnの標本を抽出したときにその平均値XavはN(μ,σ~2/n)に従うのはご存知ですね。このサンプリング測定を定期的にやっていく時、Xavの管理図は
CL=μ...(1)
URL=μ+3σ/√n...(2)
LRL=μ-3σ/√n...(3)
のようにすべきですね。つまり3σの外にでたら異常とするのです。
ところでμ, σは判らないのですが、μについては、各回で採った標本の標本平均(Xav)を平均して((Xav)av)でμを代用できますね。次にσ^2の推定ですが、標本の分散から推定値は出せるのですが、検査過程で迅速に計算できません。予備抽出で得た組で得られた標本の範囲Ri(各標本中の最大値と最小値の差）の平均値Ravを計算し、これを使って
σ≒Rav/d2...(4)
として出します。d2は各回で採る標本の数に依存し、数表を使います。
ここで本当は範囲Rについて(4)を正当化する理論があるのです。各標本の範囲の分布については
E(R)=d2σ...(5)
D(R)=d3σ...(6)
が成り立ちます。この範囲についての分布式がご質問へのお答えの基礎になります。
これにより(1), (2), (3)は
CL=(Xav)av...(6)
UCL=(Xav)av+3σ/√n≒(Xav)av+3Rav/d2√n...(7)
LCL=(Xav)av-3σ/√n≒(Xav)av-3Rav/d2√n...(8)
になります。ですからA2=3/d2√nです。（質問者さんの式はRavをケアレスミスで落としていると思います。）
次にRについては、これも3σから飛び出したら異常とし、
CR=Rav...(9)
URL=E(R)+3σ(R)...(10)
LRL=E(R)-3σ(R)...(11)
となります。ここで(5), (6)を(10), (11)へ代入すると
URL=d2σ+3d3σ≒Rav(d2+3d3)/d2...(12)
LRL=d2σ-3d3σ≒Rav(d2-3d3)/d2...(13)
ここでD3=(d2-3d3)/d2, D4=(d2+3d3)/d2とすれば質問者さんの式になります。
ではRの分布はどう導くかですが、実は私も存じません。竜頭蛇尾ですみません。