複素解析学の質問です

質問

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C(複素数全体の閉方)で正則な関数は定数に限るらしいのですがこの証明はどうすればいいのでしょうか、非定数関数を考えて背理法でしょうか
C:|z|＜∽なら正則でも定数にはならないのですが、、、
お願いします

回答No.3

arrysthmia

＞ 複素数に∞を含めたものです

よかった。No.2 の説明で良かった訳ですね。

「複素数に∞を含めたもの」上で正則な関数を考えるためには、
その集合上で関数が「正則である」とはどういうことか、
定義を確認しなくてはなりません。そこから説明を始めると
本一冊になってしまうので、ここにはとても書ききれません。

参考URLの本など、読んでみてはどうでしょうか。

参考URL：

http://bookweb.kinokuniya.co.jp/htm/4431710841.html

回答No.2

arrysthmia

「複素数全体の閉方」が、何言ってんだか判らないが…

Liouvilleの定理なら、「有界な関数で」が抜けている。

「リーマン球面上で正則な関数は定数のみ」と言いたいなら、
正則関数 f(z) のマクローリン展開に z=1/w を代入してみればよい。

マクローリン展開の収束半径が∞だから、代入した級数は
f(1/w) の w=0 を中心としたローラン展開になる。
このローラン展開は、冪級数に z=1/w を代入したものだから、
正数次の項を持たない。
また、f(1/w) は正則だから、負数次の項も持たない。
よって、f(1/w) は w≠0 の範囲で定数関数である。
ここまでは、z=0, w=0 の二点が除外されているが、
正則関数は連続だから、この穴は埋められる。

お礼

複素数に∞を含めたものです、すいません。ありがとうございました

回答No.1

Ae610

「Liouvilleの定理」の事を言っておられるものと思われますが、
大抵の(複素)関数論の教科書に記載されているのでは・・・？

C:|z|＜∽ --> C:|z|＜∞　・・・では？
---C(複素数全体の閉方)で正則な関数は定数に限る。---
は、何か重要な一言が抜けているような・・・・