複素関数論に関する質問

質問

自分は物理系のＢ２です。
　有界単連結領域で定義されている正則関数で,値域が複素数全体になる関数は存在するのでしょうか。自分でも試みてはみたんですが,値域が非有界になるものの存在しかわかりませんでした。

回答No.3

alice_38 · ベストアンサー

何を思いついたのかは、
部分分数分解してみると
想像がつくかと思います。

w = (z~3)/(1-z~4) において、
｜z｜＜1 の範囲で w が任意の複素数値を
とりえるか？という問題は、
x = 1/z, y = 1/w で置換すると、
方程式 x~4-yx-1 = 0 が
0 以外で任意の複素数 y について
｜x｜＞1 の範囲に解を持つか？
という問題に翻訳できます。

解と係数の関係から、
この四次方程式の
4 個の解の積は 1 ですから、
解の絶対値の積も 1 です。
よって、
4 個の解が全て ｜x｜=1 でない限り、
｜x｜＞1 の解が存在することになります。
全ての解が ｜x｜=1 となるのは
y=0 の場合だけで、これは除外されています。

お礼

なるほど。詳細な解説をありがとうございます。回答中のx=1/zがちょっとわかりませんでしたが、すっきりしました。まことにありがとうございます。

回答No.2

alice_38

パッと思いつくのは、
｜z｜＜ 1 上で定義された (z~3) / (1 - z~4)
とかですけど…

お礼

せっかく例を示していただいたのに自分の力量足らずで、複素数全体に値域が及ぶことが示せませんでした。具体的に示せたわけではないのですが、原点から見て値が非有界となる方向に制限があるように思われます。よろしければ、証明の指針だけでも教えていただけませんか？

回答No.1

alice_38

「有界連結領域」が開領域であれば
簡単です。

その境界上に極を持つような、
複素平面で有理形の関数を探して、
定義域を制限すれば済む。

補足

早速のご回答ありがとうございます。
　極の特徴は、極の近辺で関数の絶対値の上限が非有界であることはわかるのですが・・・・よろしければ具体的に関数形を教えていただけませんか。