エントロピーの問題２（もう一問わすれてました＾＾；

質問

すいません、またとりあえず問題を写します。
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磁化Mをもつ、単位体積の磁性体に外部磁場Bを印加すると、ｄMだけ磁化が変化する時、外部磁場Bにより磁性体になされる仕事ｄWは体積変化が生じない場合

dw=-BdM

である従って、こうした磁性体に熱力学第一法則を適用すると、

dQ=dU-BdM

となる。ところで、磁性体の磁化Mはキュリーの法則

M=CB/T　（C：磁性体により決まる定数）

の式に従って変化する。

a)今、常磁性体の内部エネルギーUがU=αT^4（a:正の定数）で表せるとしたとき、常磁性体の温度T_1,磁場B=0におけるエントロピーS(T_1,0)を求めよ。
ただし、熱力学第三法則よりT＝０でS(0,0)＝０とし、T＝０からT=T_1への温度変化にたいして体積変化は無いものとする。

b）温度T_1で等温準静的にB＝０からB＝B_0まで磁場をかけていった時に発生する熱量－Qをもとめ、C、B_0、T_1で表せ。

C)その時のエントロピーの変化S(T_1,B_0)-S(T_1,0)を求めよ。

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この問題のつけたしで

ｄ）次に断熱的に磁場をＢ＝Ｂ_０からＢ＝０に戻したとき、つまり断熱消磁した時に到達する温度Ｔ_２を、Ａ、Ｃ、Ｂ_０、Ｔ_１で表せ。

というのがあるのですが、このやり方が皆目検討もつきません。
おそらく
「断熱的に」から
dQ＝　０　=　dU-BdM

としてU=αT^4を代入して、積分して・・・っといったかんじの作業をするようなきはするのですが、それをＴ_２とどうやって結びつければいいのでしょうか・・・
これもやり方だけでもいいのでよろしくお願いします！

回答No.1

siegmund · ベストアンサー

前の質問 No.474867 で，
「問題がちょっと半端だな，
　ここまでやったならどうして磁場を切る話を入れないんだろう」
と思ったので
> 断熱消磁を題材に取った話ですね．
> c) のあと，断熱的に磁場を切ると，温度が T_1 よりも下がります．
と書きました．
なるほど，もう一つ小問が抜けていたということですか．

せっかくエントロピーの式を求めたのですから，それを使いましょう．
S(T,0) = (4/3)αT^3
S(T,B) - S(T,0) = -(C/2) (B/T)^2
ですから，
S(T,B) = (4/3)αT^3 - (C/2) (B/T)^2
ですね．
断熱(dQ=0)ですから dS = dQ/T = 0 でエントロピーは変化しません．
したがって，(T_1,B) から断熱的に (T_2,0) にしたのなら
S(T_1,B) = S(T_2,0)
すなわち
(4/3)α(T_1)^3 -(C/2) (B/T_1)^2 = (4/3)α(T_2)^3
∴　　T_2 = {(T_1)^3 - (3c/8α) (B/T_1)^2}^(1/3)

なお，U=αT^4 は固体の格子振動によるエネルギー，
M=CB/T は磁性体のキュリーの法則を，
それぞれ念頭に置いています．

前の質問 No.474867 の回答 No.2 でちょっと書き損ないました．
S(T_1,B_0) - S(T_1,0) = -∫{0～B_0} (C/T_1^2) B dB = -(C/2) (B_0/T_1)^2
-Q = C(B_0)^2/2T_1
と訂正します．
B の添字のゼロつけるの忘れました．

お礼

あはは、申し訳なかったです＾＾；
わかるようになると、そういうことまでわかるようになるんですね？！
またまた丁寧な御解説に本当に感謝しています！
テストにこの問題が出て、siegmundさんのおかげでちゃんと解けました＾＾
単位がなんとかきそうです（笑）
本当にありがとうございました！