エントロピーの問題

質問

最初は問題を丸写しさせてもらいます
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磁化Mをもつ、単位体積の磁性体に外部磁場Bを印加すると、ｄMだけ磁化が変化する時、外部磁場Bにより磁性体になされる仕事ｄWは体積変化が生じない場合

dw=-BdM

である従って、こうした磁性体に熱力学第一法則を適用すると、

dQ=dU-BdM

となる。ところで、磁性体の磁化Mはキュリーの法則

M=CB/T　（C：磁性体により決まる定数）

の式に従って変化する。

a)今、常磁性体の内部エネルギーUがU=αT^4（a:正の定数）で表せるとしたとき、常磁性体の温度T_1,磁場B=0におけるエントロピーS(T_1,0)を求めよ。
ただし、熱力学第三法則よりT＝０でS(0,0)＝０とし、T＝０からT=T_1への温度変化にたいして体積変化は無いものとする。

b）温度T_1で等温準静的にB＝０からB＝B_0まで磁場をかけていった時に発生する熱量－Qをもとめ、C、B_0、T_1で表せ。

C)その時のエントロピーの変化S(T_1,B_0)-S(T_1,0)を求めよ。

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私はａについて
自分でこう解きました
――――
dS=dQ/T

dS=dU/T-BdM/T

今、Ｂ＝０だから

dS=dU/Ｔ

Ｕ＝αＴ＾４を代入、積分して

S=α∫1/T ・d(T^4)　(T:0→T_1)

T^4=xと変換すると T=x^(1/4)

d(T^4)/dx=1・・イ

d(T^4)=dx

S=α∫x^(-1/4)dx

S=α{4/3 ・ x^(3/4)} 但し(x: 0→(T_1)^4)

よって

S=4α/3 ・(T_1)^3
――――
としたのですがこれでいいのでしょうか？？
あとイのような操作していいんですか？

ｂについて
これはｄＵ＝０として
dQ=-BdM
を積分すればいい話ですよね？

Ｃについて
Ｓ(T_1,B_0)はどのようにして出せばいいのでしょうか

Ｃについてはヒントだけでもいいのでよろしくおねがいします。

回答No.2

siegmund · ベストアンサー

> ところで
> C)なんですが、
> Ｓ(T_1,B_0)をだす積分範囲は｛B：０→B_0｝で大丈夫でしょうか？

そりゃ，B がゼロから B_0 まで変化したのですから，
そのとおりに積分です．
つまり
S(T_1,B_0) - S(T_1,0) = -∫{0～B_0} (C/T_1^2) B dB = -(C/2) (B/T_1)^2
です．

ついでに b) は
-Q = CB^2/2T_1
ですね．

お礼

ものすご・・・・・・・っく丁寧な解説ありがとうございました！！
ちゃんと解けました！
またよろしくおねがいします＾＾

回答No.1

siegmund

a)
[イ]の操作でもいいんですが，
U = αT^4 から
(1)　　dU = 4αT^3 dT
とし，
(2)　　S = α∫{0 ～ T1} T^3 dT
の方が簡単でしょう．
もちろん，答は同じです．

b) korochin さんの方針の通りでＯＫです．
ただし，dQ = dU - BdM
と書いたときに，dQ は系に入ってくる熱なのか，出ていく熱なのか，
は大丈夫でしょうね．
入ってくる熱です．
だから，-Q が発生する熱で，これは周り(接触している熱源)に吸収されます．

c) 温度T_1で等温(dT=0)準静的(dS=dQ/T) ですから
(3)　　dS = dQ/T = (dU/T) - (B/T)dM = - (B/T_1)dM　　　∵(1)
さらに，M=CB/T ですから，今の過程では dM = (C/T_1)dB です，
あとは積分すればＯＫでしょう．

断熱消磁を題材に取った話ですね．
c) のあと，断熱的に磁場を切ると，温度が T_1 よりも下がります．

補足

さっそくのご解答ありがとうございました！
とてもわかりやすいです！
ところで
C)なんですが、
Ｓ(T_1,B_0)をだす積分範囲は｛B：０→B_0｝で大丈夫でしょうか？