計算がわかりません

質問

不定積分の計算なんですが、最後の部分がわかりません。その部分だけ書きます。

3x-2=2sinθとおくとdx=2/3・cosθdθ　　（cosθdθは分子にかかっている）
～中略～
=-(√3)/3・t+C　　（tは分子にかかっている）

となるのですが、θ→xに戻すやり方がわかりません。どなたか教えてください。
すみません、あともしよかったら分子にかかっている掛け算の表記法も教えてください（2cosθdθ/3でいいんですか？？）

回答No.1

kishiura · ベストアンサー

積分する前の式が分かりません。
ｔってなんですか？
θ→ｘに戻すのがあまりにも煩雑なら直す必要はないですが、どうしても直したいなら、θ＝sin^(-1)(3/2・x-1) ですよね…？

お礼

ありがとうございます。
式を間違えてしまったので、補足に書き直しておきました。よろしかったら、ぜひ再度のご回答よろしくお願いします。

補足

ごめんなさい。式を間違えました。tはθの間違いです。
正しくは、

3x-2=2sinθとおくとdx=2/3・cosθdθ　　（cosθdθは分子にかかっている）
～中略～
=-(√3)/3・θ+C　　（θは分子にかかっている）

です。最後の式のθをxに置き換えるだけなので、3x-2=2sinθからもとめられるのだと思います。
sin^(-1)というのは関数になっていないのですがこれでいいのでしょうか？数学は苦手なもので・・・すみません。

回答No.4

jare05

＃２です。

>>θ＝sin^(-1)・(3x-2)/2と置き換えたあとなんですが、
>>-(√3)/3・θ+Cに代入して
>>-(√3)/3・sin^(-1)・(3x-2)/2+C

微積の公式で
sin^(-1)(x/a)＝∫1/√(a^2-x^2) dx　(a>0)
がありましたので、これに（素直に）適用すると

与式＝∫1/√(3x^2-4x) dx
＝-√3/3∫1/√((2/3)^2-(x-2/3)^2) dx
公式を適用します。与式は右辺

-√3/3sin^(-1)((x-2/3)/(2/3))＝-√3/3∫1/√((2/3)^2-(x-2/3)^2) dx
＝-√3/3sin^(-1)((3x-2)/2)

となり、あなたの解答と一致します。
多分これでよろしいかと（自信なし）笑

----------[補足]
＃３のお礼の
>>=(-3√3x)+(2√3)/12・sin^(-1)+C (sin^-1は分子にかかっている)

>>ここでy=sin^(-1)とおくと
>>siny=1 より　y=rad/2 なので、最終的な解は
>>(-3√3x)+(2√3)/12・rad+C (radは分子にかかっている)…
（以下省略）

xもθも抜けているし、私には（不勉強なのか）意味不明です。rad？？？

お礼

再度のご回答ありがとうございます。
とりあえず途中まではあってそうだということなので安心しました。
rad＝ラジアンです。パイがうまく変換できなかったもので・・・。

回答No.3

kishiura

♯１です。
前にも述べたとおり、煩雑になるなら単に　3x-2=2sinθのとき、－√3/3θ＋C　である。　でいいのです。
y=sinθ　のとき、θ=sin^(-1)(y)　で表し、これを元の式の逆関数といいます。

お礼

再度のご回答ありがとうございます。
θのまま回答したら元に戻すように言われたので、直し方が知りたかったのです。

θ＝sin^(-1)・(3x-2)/2と置き換えたあとなんですが、
-(√3)/3・θ+Cに代入して
-(√3)/3・sin^(-1)・(3x-2)/2+C
=(-3√3x)+(2√3)/12・sin^(-1)+C (sin^-1は分子にかかっている)

ここでy=sin^(-1)とおくと
siny=1 より　y=rad/2 なので、最終的な解は
(-3√3x)+(2√3)/12・rad+C (radは分子にかかっている)

となったのですが、これでいいのでしょうか。
sin^(-1)はsin^(-1)・1なのでrad/2と置き換えたほうがいいんですよね？

長々とすみませんでした。よろしかったら最後にもう一度だけご回答いただけるとありがたいです。

回答No.2

jare05

なんとも言えない、とでも申しましょうか
（回答のしようがない、とも言えましょうか…）

ご質問の式が間違っているようですし、また、問題の全体がつかめないゆえ…

問題の全体（積分する前の式）と解答を記載していれば
適切な指摘や回答があるかと思います。

3x-2＝2sinθ
3x＝2sinθ+2
x＝(2sinθ+2)/3
dx/dθ＝(2cosθ)/3

お礼

ご回答ありがとうございます。
ごめんなさい。式を間違えました。tはθの間違いです。
正しくは、

3x-2=2sinθとおくとdx=2/3・cosθdθ　　（cosθdθは分子にかかっている）
～中略～
=-(√3)/3・θ+C　　（θは分子にかかっている）

でした。問題は
∫1/√(3x^2-4x) dx
で、分母・分子に√3をかけて分子を√(a^2-b^2)の形にしたものです。
解答はわかりません。
多分-(√3)/3・θ+Cのθ→xに置き換えたものが正解になるのだと思います。