式変形

質問

y=a*b*ln[(b/6)^{2/3}/y]/4(a,bは実定数)をyについて解きたいのですが、まったく出来ません。どなたか教えてください。

回答No.8

arrysthmia

y ≒ u = - (a/12) b ln b
は、パッと見にもマズイですよ。
y = a b ln{ (b/6)^(2/3) / y } / 4
と併せて、
u / y = (1/2) ln{ b^(2/3) } / [ ln{ y / b^(2/3) } + ln{ 6^(2/3) } ]
ですが、
y << b^(2/3) << 1 の条件下だと、
0 < y / b^(2/3) << 1 と 0 < b(2/3) << 1 の大小関係がわからないので、
u / y は、+0 ～ +∞ のどこにあるかわからない。近似になりません。
y / b^(2/3) の小ささは、a の小ささ次第で、どうにでもなるので…

No.6 の
＞　Xe exp(Xe/k) = exp(-A/k)
という形から、Lambert の Ｗ 関数を使って、
y = { (b/6)^(2/3) } / exp W( (b/6)^(2/3) / (ab/4) )
が厳密解ですが、これでは、
超越関数を使うので、数値計算には結びつきませんね。

参考URL：

http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%A9%E3%83%B3%E3%83%99%E3%83%AB%E3%83%88%E3%81%AEW%E9%96%A2%E6%95%B0

回答No.7

noname#101087

>Xe が 0 に近い場合、
>　　EXP(Xe/k)≒ 1 + (Xe/k)
>の近似により、二次方程式
>　　x^2/k + x - EXP(-A/k) = 0
>の非負解Xa が Xe の近似値。

の続編です。

　　g(x') = -A-k*LN(x') = 0
　　x' = EXP(-A/k)
(再掲)として、二次方程式
　　X^2/k + X - x' = 0
を解いてみると無理式を含む。
強引に一次近似をとって有理化。
　　X ≒ k*x'/(k+x')
Xe が 0 に近い場合、結構使える。(またもや Excel)

「解けりゃいい」のなら、
>　　g(x'') = x'
の繰り返しが簡単明瞭。

原題では、
　　A = (ab/6)*LN(6/b)
　　k = ab/4
なのだが、
>y=-(a/12)*b*lnb
にはなりそうもありません。
(一服時のパズルでは、ここらが限界)

回答No.6

noname#101087

あちこち寄り道したあげく、どうやら
　　g(x) = -A-k*LN(x)　　： A, k > 0
の不動点の近似に近づいたようです。

不動点の等式
　　Xe = -A-k*LN(Xe)
から、
　　Xe = EXP[-(A+Xe)/k]
　　Xe*EXP(Xe/k) = EXP(-A/k)

Xe が 0 に近い場合、
　　EXP(Xe/k)≒ 1 + (Xe/k)
の近似により、二次方程式
　　x^2/k + x - EXP(-A/k) = 0
の非負解Xa が Xe の近似値。

少数例の確認では、ほぼ OK という感じ。

回答No.5

noname#101087

蛇足です。
　　g(x) = -A-k*LN(x)　　： A, k > 0
の不動点に収束する別法。
たとえば、g(x) の零点x' からスタートして、g(Xe) = Xe へ収束する繰り返し勘定です。

たとえば、
　　g(x') = -A-k*LN(x') = 0
　　x' = EXP(-A/k)
を求めておき、
　　g(x'') = x'
を満たす x'' を勘定すると、EXP[-(A+x')/k]
　　x'' = EXP[-(A+x')/k]

同様に
　　g(x''') = x''
を満たす x'' を勘定。
これを繰り返していくと、g(Xe) = Xe へ収束します。

再三ながら、スプレッド・シートなどでお試しを..... 。

回答No.4

noname#101087

関数
　　g(x) = -A-k*LN(x)　　： A, k < 0
の不動点の続きです。

g(x) の零点x'、
　　g(x') = -A-k*LN(x') = 0
　　x' = EXP(-A/k)
から、Newton 法で改善解 x'' へアプローチ。

　　x'' = x' - d
　　d = x'^2/(k+x')

不動点 g(x) = x に近づきます。
ふたたび、スプレッド・シートなどでお試しを..... 。

回答No.3

noname#101087

誤記訂正。
---------
関数
　　g(x) = -A-k*LN(x)　　： A, k > 0
の不動点

回答No.2

noname#101087

>y=a*b*ln[(b/6)^{2/3}/y]/4(a,bは実定数)をyについて解きたい....

関数
　　f(y) = a*b*ln[(b/6)^{2/3}/y]/4
の不動点
　　f(y) = y
を求めたい、ということですね。係数がややこしいので、単純化した類似例を..... 。

関数
　　g(x) = -A-k*LN(x)　　： A, k < 0
の不動点
　　g(x) = x
の近似値xo を考える。
A >> k の場合、xo は 0 に近い正数になり、g(x) の零点x'に近い。
　　g(x') = -A-k*LN(x') = 0
　　x' = EXP(-A/k)

本題を攻める演習のつもりで、スプレッド・シートなどでお試しを..... 。

回答No.1

devilstick

式の内容がわかりづらいのですが、
こんな感じでしょうか？
よろしかったら詳細をお願いしますorz

補足

ご丁寧にありがとうございます。画像の式で大丈夫です。
それと条件としてy << b^{2/3} << 1　が付いていたのを忘れていました。この条件の下で一応答えはわかっていて

y=-(a/12)*b*lnb　

となるみたいなのですが、どうやっても自分には導出が出来ませんでした。なんか近似でもすればいいんでしょうけどさっぱりです。
こんな感じですがどうぞよろしくお願いします。