伝達関数の式変形について

質問

伝達関数の式変形について
次の伝達関数にステップ関数(u(s)=1/s)を加えたときのy(t)を用いて表してください。

y(t)を求めるのですが、自信がないので質問させていただきます。

(1)G(s)=10s/(s+1)(s+10)
(2)G(s)=s+1/s^2(s+10)

(1)のほうは自信は無いですが、一応できたので載せますが間違っているところがあればご指摘お願いします。
(2)はs^2をどう対処すればいいのかに迷っています。

(1)の私が解いてみた解答。
Y(s)=G(s)*1/s
Y(s)=s/(s+1)(s+10)*1/s
ここで、A/s+ B/s+1 + c/s+10とおくと
(s+1)(s+10)A+s(s+10)B+s(S+1)C/s(s+1)(s+10)
(A+B+C)s^2+(11A+10B+C)s+10A/s(s+1)(s+10)

A+B+C=0,11A+10B+C=1,10A=0

A=0,B=1/9,C=-1/9

Y(s)=1/9*1/S+1-1/9*1/s+10
=1/9(1/s+1 - 1/s+10)

y(t)=1/9(e^-t - e^-10t)

回答No.1

crouthai · ベストアンサー

(1)
おしいですね。
10を掛け忘れています。
あと、ステップ関数を掛けた際、伝搬関数は
Y(s)=10/(s+1)(s+10)
となり、A=0は明らかですよ。

(2)
Y(s)
=(s+1)/(s^3(s+10))
=A/s + B/s^2 + C/s^3 + D/(s+10)
と変形する。
（1/s^2となっている場合、1/sの項と1/s^2の項の2つが必要になります。）

恒等式であることを利用すると、
A=-9/1000
B=9/100
C=1/10
D=9/1000
なので、
Y(s)=(1/1000)[9/(s+10) - 9/s + 90/s^2 + 100/s^3]

よって、
y(t)=(1/1000)[9exp(-10t) - 9 + 90t + 50t^2]
（1/s^2の逆変換はtです。）

お礼

詳しい説明をありがとうございました。(1)は凡ミスをしていたことが恥ずかしいです。
(2)は例えば、1/s^100だと1/s^1から1/s^100までの100個の項がいることになる。という意味ですよね？

回答No.3

178-tall

>３次極の
>Y(s)=(S+1)/s^3(s+1)=A/s^3 + B/s+1
>とならないのでしょうか？？

このステップで A と B とを共に勘定したければ、それでも結構です。
複数位極を一つずつ下げていくとき、Y1(s) = (s+1)/s^3(s+10) - A/s^3 といった残差勘定が必要です。
ほかの極を道連れにするのは混乱のもとなので避けました。

>また、A=1/10なのに２次極の分子が9/100やB=9/100１次極の分子が-9/100となぜこうなるのか ......

下記のように勘定した結果です。

　Y1(s) = (9/10)/{(s^2)(s+10)} = B/s^2 + Y2(s)
の両辺に s^2 を乗ずれば、
　(9/10)/(s+10) = B + Y2(s)*s^2
ですね。ここで s = 0 とすると、
　(9/10)/10 = B

ということです。

回答No.2

178-tall

>(2)は例えば、1/s^100だと1/s^1から1/s^100までの100個の項がいることになる。という意味ですよね？

その通りです。

複数位数の極を one by one で抜き出していくのが実戦的かも…。

[3 位極]
　Y(s) = (s+1)/s^3(s+10) = A/s^3 + Y1(s)
とおき、s^3 を乗じて s→0 で A を得る。
　1/10 = A
　Y1(s) = (s+1)/s^3(s+10) - (1/10)/s^3 = (9/10)/{(s^2)(s+10)}

[2 位極]
　Y1(s) = (9/10)/{(s^2)(s+10)} = B/s^2 + Y2(s)
s^2 を乗じて s→0 で B を得る。
　9/100 = B
　Y2(s) = (9/10)/{(s^2)(s+10)} - (9/100)/s^2 = -(9/100)/{s(s+10)}

[1 位極]
　Y2(s) = -(9/100)/{s(s+10)} = C/s + D/(s+10)
s を乗じて s→0 で C を得る。
(s+10) を乗じて s→ -10 で D を得る。

お礼

続いての回答ありがとうございます。
済みませんが…ちょっと分からないことがあります。

例えばですが…
３次極の
Y(s)=(S+1)/s^3(s+1)=A/s^3 + B/s+1
とならないのでしょうか？？

また、A=1/10なのに２次極の分子が9/100やB=9/100１次極の分子が-9/100となぜこうなるのかもできれば教えてください！！