三角形の性質について教えて下さい。

質問

高校1年生の内容の復習を行っています。
問題集に次のような問題が出ました。

"AB=5、BC=4、CA=3の直角三角形ABCに円Oが内接している。AO、CO、の延長が辺BC、ABと交わる点をそれぞれP、Qとするとき、AQ、APの長さを求めよ。"

略解によると、AQ=15/7、AP=3√5/2になるそうです。
解答の流れを掴みたいです。

よろしくお願いします。

回答No.1

owata-www · ベストアンサー

とりあえず簡単に書くと

ＡＯとＣＯというのはそれぞれ∠ＢＡＣと∠ＡＣＢの角の二等分線になります。
よって、
ＡＢ：ＡＣ＝ＢＰ：ＰＣ…(1)
ＣＡ：ＣＢ＝ＡＱ：ＢＱ…(2)
となります。
http://izumi-math.jp/S_Yoshida/matome/s1_zukei_to_keiryo.pdf

(2)より、ＡＱ：ＢＱ＝３：４であり、ＡＢ＝５より
ＡＱ＝５＊３／（３＋４）＝１５／７となります。

(1)より、ＢＰ：ＰＣ＝５：３であり、ＢＣ＝４より
ＰＣ＝４＊３／（５＋３）＝３／２となります。

△ＡＰＣで三平方の定理より
ＡＰ＾２＝ＡＣ＾２＋ＣＰ＾２で、ＡＣ＝３、ＰＣ＝３／２より
ＡＰ＾２＝４５／４
ＡＰ＝３√５／２
となります。

お礼

解けました!!

丁寧な解答ありがとうございます^^
わかりやすいpdfまで貼り付けていただいて感謝感謝です♪

ありがとうございました。