三角比の問題の解答について

質問

ご覧いただきありがとうございます。
数学についての質問です。

「CA=3、AB=4、BC=5の△ABCに、
PR=QRの二等辺三角形PQRが内接。
PQ〃BCのとき、△PQRの面積をYとする。
このとき、AP=Xとして、YをXで表すと
Y=(　)X(2)＋(　)X＋(　)となる。」

上記の問題の解答が
AB(2)＋AC(2)=BC(2)より　∠BAC=９０゜
よって△PQR=４－X／X・△APQ
　　　　　 =４－X／X・１／２・３／４X
　　　　　 =…
とあるのですが、
４－X／X　がなぜ出てくるのかが分かりません…。
よろしくお願いします。

※文中の“(2)”は、二乗の意味で使っています。

回答No.1

debut · ベストアンサー

ＡＰ＝ｘなので、ＢＰ＝４－ｘです。
すると、ＡからＢＣに垂線ＡＨを引いて、ＡＨとＰＱの交点をＨ '
とすれば、ＡＨ '：Ｈ 'Ｈ＝ｘ：(４－ｘ)
△ＡＰＱと△ＰＱＲの底辺をＰＱとすれば、△ＡＰＱの高さと
△ＰＱＲの高さの比もｘ：(４－ｘ)です。
△ＡＰＱの高さを１とすれば、△ＰＱＲの高さは(４－ｘ)/ｘです。
よって、底辺が共通なので、△ＰＱＲの面積は△ＡＰＱの面積の
(４－ｘ)/ｘ 倍になります。

お礼

debutさん＞ありがとうございました！
ずっと考えていた問題だったので本当に助かりました。
自分の頭の固さが情けないです；

本当にありがとうございました！