RC並列にＬを直列につなげた場合のインピーダンス

質問

可変抵抗ＲとコンデンサＣを並列につなげ、それにインダクタンスＬを直列につなげた場合、ωL＝1/(2ωL)ならば、インピーダンスZの大きさはＲに関係しないことを示せという問題があるのですが、示し方が分かりません。

私の考えたやり方は、まずＺ=jωL＋1/(1/R+jωC)なので

Z=jωL+(1/R－jωC)/{(1/R)^2+(ωC)^2}

よってZ=(1/R)/{(1/R)^2+(ωC)^2}+jω[L{(1/R)^2+(ωC)^2}-C]/{(1/R)^2+(ωC) ^2}=A+jBとすると

Zの大きさ=(A^2+B^2)^(1/2)

これを両辺Rで微分すれば、右辺＝0となるのかなと思ってやってみたのですが、計算が非常に複雑で何がなんだかわからないようになってしまいました。
(ωL＝1/(2ωL)をどのように使えばいいのかもいまいち分からないし・・・)

計算ができなかったのはともかくとして、この方法は計算さえきちんとできれば、考え方は合っているのでしょうか？

それとも、別のやり方があるのでしょうか？

回答No.1

Umada · ベストアンサー

インピーダンスをjωを使って書き下し、それを整理しようとする方針は間違っていないと考えます。
つまづいたと思われる個所は
(1)式の整理をする際に、見通しがついていないまま変形してかえって複雑にしている
(2)「ZがR依存性を持たない」を示すのに微分を使うのは、この場合適切でない
の2つだと思われます。
なお条件式のωL=1/2ωLは、ωL=1/2ωCの誤記でしょうね。

このような複雑な式では、与えられた条件式をうまく使って途中の式を簡単にしながら計算を進めるのがコツです。
また微分を使うことは原理的には間違っていませんが、この問題では式が複雑であることを考えるとあまり得策と思えません。式を変形して|Z|がRに関して定数であることを導く方が楽です。本質的には同じですが。

まずインピーダンスを書き出してみます。
Z=jωL+ 1/(1/R+jωC)
=jωL+ R/(1+jωCR)　　←分母の中にまた分数がある形は複雑。この形にした方が見通しが利くことが多い。
=(jωL-ω^2 LCR+R)/(1+jωCR)　←単なる通分

ここでωL=1/2ωCなので、ω^2 LC=1/2です。
これを代入して
(上からの続き)
Z=(jωL+R/2)/(1+jωCR)
=(1-jωCR)(jωL+R/2)/{1^2+(ωCR)^2}　←分母有理化
={jωL-(jωCR^2/2)+ω^2 LCR+R/2}/{1+(ωCR)^2}
=(jωL-(jωCR^2/2)+R)/{1+(ωCR)^2}　←もう一度ω^2 LC=1/2を使った
={j(1/2ωC-ωCR^2/2)+R}/{1+(ωCR)^2}　←さらにωL=1/2ωCを使った

このように式を簡単にしておいて、ここで初めて絶対値の計算をします。

|Z|^2
=[(1/2ωC-ωCR^2/2)/{1+(ωCR)^2}]^2 + [R/{1+(ωCR)^2}]^2
=[(1/2ωC){1-ω^2 C^2 R^2)/{1+(ωCR)^2}]^2 + [R/{1+(ωCR)^2}]^2
=(1/4ω^2 C^2)[1-2ω^2 C^2 R^2+ω^4 C^4 R^4 +4ω^2 C^2 R^2]/{1+(ωCR)^2}^2
=(1/4ω^2 C^2)[1+2ω^2 C^2 R^2+ω^4 C^4 R^4]/{1+(ωCR)^2}^2
=(1/4ω^2 C^2) {1+ω^2 C^2 R^2}^2 /{1+(ωCR)^2}^2
=(1/4ω^2 C^2)
=1/(2ωC)^2
となって、Rを含まない式になります。
よって、インピーダンスの大きさはRに依存しないと言えます。

お礼

なるほど・・・こうするのか・・・ばっちりですね。
うまく計算するのはたいへんですね。
丁寧な解説つきで解いてくださり、本当にありがとうございました。

また、ご指摘の通り、ωL=1/2ωLは、ωL=1/2ωCの誤記でした。すいません。