RLC直列回路に2Rが並列接続されている問題ですが…

質問

ab端子間にa側からコイルL、コンデンサC、抵抗Rが直列につながっていて、さらにLとCの直列部分に抵抗2Rが(Rの2倍と解釈してくださって結構です)並列につながっている回路です。
言い換えると2R//(L+C)　+Rとなっている回路です。

この回路について、端子ab間のインピーダンスと、角周波数ωを0→∞に変化させたときのインピーダンスのベクトル軌跡を描く問題なのですが、

インピーダンスZを求めたところ、
Z=[1/{(1/2R) - j/(ωL - 1/ωC)}] + R　となり、これを変形していいかどうか迷っています。そもそもこれがあっているのかどうかも不安です…
変形したら汚くなりそうで…
インピーダンスってどこまで求めればいいんですか？
特にフェーザ表示にしろとかいう条件はなく、ただインピーダンスを求めろとしか書いてないです。

次に、ベクトル軌跡ですが、上のインピーダンスの場合だとωを0→∞に変化させたとき、左の項が0のときも無限のときも2Rとなり、横に実軸、縦に虚軸をとったとき実軸の3Rの部分から虚軸と平行に軌跡が描かれるということでよろしいのでしょうか??

回答No.3

ojisan7 · ベストアンサー

Z=(3RA-j2R^2)/(A-j2R)
ここまでできれば、もう出来たも同然ですね。
Zを実数部分と虚数部分の和に分解しそのそれぞれをx,yとすればよい
わけです。たとえばZの実数部分をP(A),虚数部分をQ(A)とすれば、
Z=P(A)+jQ(A)となるわけですが、これを、
x=P(A)
y=Q(A)
として、この２つの式からAを消去すればよいのです。
あとの計算はご自分でして下さい。がんばってくださいね。(^_^)

補足

計算したところ、

(x-2R)^2 + y^2 = R^2

となり、無事に中心( 2R , 0 )で、半径Rの円を描くことはできたのですが、なぜωL-1/ωCを消去するとインピーダンスの軌跡が得られるのでしょうか？
それと半円ではなく円となる、つまり虚軸のマイナス部分にも軌跡が描かれるのはコンデンサも含まれているからなのでしょうか？

回答No.4

noname#101087

円線図の {半径r, 中心s} の求め方はいろいろあるので、参考まで。

[例] C, G の並列インピーダンス、
　　Z = 1/(G+jωC)　　　…(1)
を考える。

原点を中心とする単位円
　　Zo = (G-jωC)/(G+jωC)
の半径を r 倍し、s だけ中心を移動したものとみなせば、
　　Z = r*Zo + s = {(r+s)G-j(s-r)ωC}/(G+jωC)
になる。
これを式(1) と等値にするには、
　　s=r, (r+s)G = 2sG = 1
　　s = 1/(2G)
とすればよい。
つまり、(1) は半径・中心ともに 1/(2G) の円だとわかる。

もとの問題は、周波数変換により上例の C をL, C 直列共振に変換するれば考えやすそうです。

回答No.2

ojisan7

>>インピーダンスも円形になる場合があるのでしょうか？
円形か直線かは回路によって決まることです。

質問者さんの計算、Z=[1/{(1/2R) - j/(ωL - 1/ωC)}] + R　は
あっています。この式を自信をもって変形して下さい（式が多少
汚くなりますが・・・）
グラフを描く上でのヒントとして、Lω-1/Cωは計算が面倒なので、
Lω-1/Cω=Aとして計算し、Aを消去すれば円の方程式が導かれる
でしょう。ωが0→∞のとき、Aは、-∞→∞かつ単調増加であり、
しかも、その区間でAは連続であることも確認して下さいね。

補足

すみません…
ωL-1/ωC = Aとおいて変形し、

Z=(3RA-j2R^2)/(A-j2R)

となったのですが、回答者様の言っている　Aを消去すれば円の方程式が導かれる　というのがよくわかりませんでした。
この式からどうすればいいのか見当もつきません…

ごめんなさい、教えてください。。

回答No.1

ojisan7

>>インピーダンスってどこまで求めればいいんですか？
インピーダンスは複素表示のままでいいですが、もし簡単になればそれに超したことはありません。

>>ベクトル軌跡ですが、上のインピーダンスの場合だとωを0→∞に変化させたとき・・・
質問者さんの、ベクトル軌跡の結果は私の計算結果と異なりますね。私の場合は、(2R,0)を中心とする半径Rの円になりました。ωを0→∞に変化させたとき、
ベクトル軌跡は、(3R,0)を出発点に時計回りに３６０度回転し(3R,0)が到達点です。私の計算ミスかも知れませんので、質問者さんご自信で確認して下さい。
がんばって下さいね。(^_^)

補足

アドミタンスの軌跡ならば円形になると教わったのですが、インピーダンスも円形になる場合があるのでしょうか？
僕は円形になる証明ができなかったので、直線だと思いました。