この逆ラプラス変換の解答おしえてください

質問

問題は、F(s)=4/(s^4+4)です。

分母の因数分解も思いつかず解けません。
教えてください

回答No.4

info22 · ベストアンサー

#2です。
失礼しました。
>F(s)=4/(s^4+4)
でしたね。
s^4+4=(s^2+2)^2-4s^2=(s^2+2-2s)(s^2+2+2s)
なので
4/(s^4+4)=4/{(s^2+2-2s)(s^2+2+2s)}
=(1/2)(s+2)/(s^2+2*s+2)-(1/2)(s-2)/(s^2-2*s+2)
=(1/2){(s+1)+1}/{(s+1)^2+1}-(1/2){(s-1)-1}/{(s-1)^2+1}
f(t)=(1/2){e^(-t)}{cos(t)+sin(t)}-(1/2)(e^t){cos(t)-sin(t)}
ここで答としてもいいですが、
sin(t),cos(t)で整理すれば
f(t)=sin(t)cosh(t)-cos(t)sinh(t)
と変形したものを答としてもいいですね。
ここでsinh(x),cosh(x)は双曲線関数と呼ばれる関数で、詳細は参考URLをご覧下さい。

参考URL：

http://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%8F%8C%E6%9B%B2%E7%B7%9A%E9%96%A2%E6%95%B0

お礼

お礼遅れてすいません。回答ありがとうございます！
参考しながら何とか答え出せました！
ありがとうございます

回答No.6

jaspachate

No.3 です。
指摘がありましたが、その通りのケアレスミスです。係数の勘違いですね。本質とは関係ないのですが、失礼しました。

回答No.5

info22

#2,#4です。
#3さんのA#3はケアレスミスがあって解が間違っているようです。
チェックしてみてください。
>結果は、
>(1/4)( sin(t)cosh(t) - cos(t)sinh(t) )
先頭の(1/4)倍は間違いで不要です。
ラプラス変換すれば元に戻らないことから明らかです。

>s4+4=0 の異なる4解。
>４解は ±1/√2±i/√2 です。
正しい４解は ±√2±i√2 （複合は全ての組合せ）ですね。
もちろんこれを使った留数を求めて逆変換すると
f(t)＝sin(t)cosh(t)-cos(t)sinh(t)
と出てきます。

回答No.3

jaspachate

s は複素数です。因数分解も複素数を使うことに神経質になる必要はありません。s^4+4 = (s^2)^2 - (2i)^2 ですから、
4/(s^4+4) = -i ( 1/(s^2-2i) - 1/(s^2+2i) )

これに
ℒ^(-1)[ 1/(s^2-a^2) ] = (1/a)sinh(at)
ℒ^(-1)[ 1/(s^2+a^2) ] = (1/a)sin(at)
を適用できます。a=√(2i)。複素関数の知識を活かして展開してください。
結果は、
(1/4)( sin(t)cosh(t) - cos(t)sinh(t) )
で、詳しい公式集には載っています。

この問題は単純な形をしているので、公式に頼らず積分できるようにしたいものです。
∫4/(s^4+4) e^(st) ds
を Re(s) = -∞～∞ で行うのですが、これは被積分関数の留数の和になります。そうなると言えることこそ公式と言うものです。
留数は、被積分関数が　s^4+4=0 の４解で一位の極を持つことから
lim[ s→α ] (s-α) 4e^(st)/(s^4+4)、αは s^4+4=0 の解
で、四つあります。
従って、
ℒ^(-1)[4/(s^4+4)] = Σ[k=1～4] lim[ s→α[k] ] (s-α[k]) 4e^(st)/(s^4+4)
ただし、 α[k]、k=1～4　は s4+4=0 の異なる4解。
４解は ±1/√2±i/√2 です。

回答No.2

info22

主だった関数のラプラス変換は覚えるようにして下さい。
http://okawa-denshi.jp/techdoc/2-1-4Rapurasuhyou.htm

>分母の因数分解も思いつかず解けません。
そうすれば↑のような幼稚な質問はしなくてすみます。
ラプラス変換の公式のほとんどそのままです。
f(t)=L^-1{F(s)}=2sin(2t)

演習問題をこなすと言うか、ラプラス変換表の公式は、
ラプラス変換の定義式からすぐ導けるように、1通り公式を導いておいて、
覚えるようにして下さい。

補足

回答ありがとうございます！
分母のsの累乗が2だったらsinの公式そのままですが、4乗の場合の応用が分からないです。

回答No.1

proto

それ以上因数分解せずとも、
　　L{sin(ax)} = a/(s^2+a^2)
を応用すれば解けます。