高校数学が出来る方！助けてください！

質問

高校数学ができるかた、助けてください

Q(x)を二次式とする。
P(x)はQ(x)で割り切れないが、
{P(x)}^2はQ(x)で割り切る事ができる。
このとき、Q(x)＝０が重解を持つことを示せ。

僕の考え
Q(x)=ax^2+bx+c=0として、(a≠0)
判別式をＤとし、
D=b^2-4ac=0
と・・・どうつなげたらよいのでしょうか？

回答No.3

owata-www · ベストアンサー

P(x)はQ(x)で割り切れないので、
P(x) ＝ Q(x)R(x) +ax + b
と置けます。a,bはa=b=0とはならない定数。

よって、
{P(x)}^2 ＝{Q(x)R(x) +ax + b}^2
＝Q^2(x)R^2(x) + (ax+b) Q(x)R(x) + (ax +b)^2
＝Q(x){Q(x)R^2(x) + (ax+b) R(x)} + (ax +b)^2
これがQ(x)で割り切れるのだから、
(ax +b)^2＝αQ(x)　(Q(x)は二次式より、α≠０の定数)

よって、Q(x)＝(ax +b)^2/αで重解を持ちます。

回答No.2

HAMA2

Ｐ（ｘ）はＱ（ｘ）で割り切れないのだから

Ｐ（ｘ）＝Ｑ（ｘ）Ｒ（ｘ）＋ａｘ＋ｂ
と置きます（Ｒ（ｘ）はｘの式で、ａ＝ｂ＝０はない）

で、これに関して｛Ｐ（ｘ）｝＾２を考えます

｛Ｐ（ｘ）｝＾２＝Ｑ（ｘ）Ｓ（ｘ）＋（ａｘ＋ｂ）＾２

そして、これはＱ（ｘ）で割り切れるのだから、（ａｘ＋ｂ）＾２がＱ（ｘ）で割り切れる

故にＱ（ｘ）＝ｃ（ａｘ＋ｂ）＾２＝ｃａ＾２ｘ＾２＋２ａｂｃｘ＋ｃｂ＾２
Ｑの判別式をＤとするとＤ＝０となるので重解を持つ

となりましたが…所々どうにもこれでいいのかが微妙な線もあるんですよねえ…

回答No.1

koko_u_u

>と・・・どうつなげたらよいのでしょうか？

その方針では難しいでしょう。
別のアプローチを模索して下さい。