判別式の証明

質問

高校で習う判別式について簡単な質問です。

二次方程式ax^2＋bx＋c=0の
判別式D=b^2-4acにおいて

D>0の→方程式は２実解をもつ
D=0の→重解をもつ
D<0の→虚数解を２つもつ

の証明は二次関数のグラフで証明できますが、逆に方程式は２実解をもつならばD>0が成り立つというように逆側からについてはどうやって証明すればいいのでしょうか？

回答No.2

ONB · ベストアンサー

もしあなたが高校生なら、ちゃんと逆についても考えられる、きちんとした数学的思考力を持っていることに自信を持ってください。
で、本題ですが、

２実解をもつならばD>0が成り立つ

は次のようにして証明できます。

２実解をもつのにD>0でないとする。
するとD=0かD<0ということになりますが、

D=0の→重解をもつ
D<0の→虚数解を２つもつ

はわかっているので、二次方程式の解は重解だったり虚数解2つだったりします。それは矛盾ですね。
ほかの二つの逆も同じ論法で証明できます。

別に知らなくていいことですが、この論法を転換法といいます。

回答No.6

koko_u

>D=0 iff 重解
>しか成り立たないっすよ～＞#4.
>cf. x^2 + 2ix - 5 = 0.

ん？
「異なる２つの実数解がある ⇒ D/a^2 > 0」
と言っただけで、逆が成り立つとは言っとらんのですが。

回答No.5

Tacosan

D=0 iff 重解
しか成り立たないっすよ～＞#4.
cf. x^2 + 2ix - 5 = 0.

回答No.4

koko_u

>さらに、実数解を持たなければ、もしD>=0であればα、βともに
>実数になってしまい矛盾する
ここだけ議論が飛んでる。αとβが複素共役であることを使ってるのかな？

ついでに、解と係数の関係は a, b, c が複素数でも成立するので、ax^2 + bx + c = 0 が異なる実数解を持つ場合は D/a^2 が実数でかつ正数になるところがちょっと面白い。

回答No.3

y_akkie

まず補足しておくと、
ax^2 + bx + c = 0 が２つの解α、βを持つときは、
ax^2 + bx + c =a(x-α)(x-β)の形式で表現できます。
これを利用して証明すればよいと思います。

a(x-α)(x-β)=a(x^2-(a+β)x + αβ)であることから、
になり、ここで、ax^2-a(α+β)x + aαβ= ax^2 + bx +c
となり、両辺は恒等的に等しいので、
b = -a(α+β) c=aαβである事が分かります。
D=b^2-4ac = a^2(α+β)^2 -4a^2(aαβ)
=a^2(α^2 + β^2 -2αβ)= a^2(α-β)^2
になります。

ここで実数解が２つであればα≠βであり、なおかつ、
それぞれが実数なので、D=a^2(α-β)^2 > 0にならなければ
ならない事が分かります。

次に、実数解が１つであれば、α=βなので、D=a^2(α-β)^2 = 0
になる事が分かります。

さらに、実数解を持たなければ、もしD>=0であればα、βともに
実数になってしまい矛盾するので、D < 0でなければならない
事が分かります。

回答No.1

Mr_Holland

2次方程式の解の公式をつかうと、2次方程式ax^2＋bx＋c=0の解は、ご存知の通り、次のようになります。
　　x＝{-b±√(b^2-4ac)}/(2a)
　ここで、判別式のDはb^2-4acなので、これを代入すると、
　　ｘ＝{-b±√D}/(2a)＝-b/(2a)±√D/(2a)
となります。
　ここで、a,b,cが実数だとすると、-b/(2a)は実数だといえます。
　したがって、方程式が２実数解をもつということは、√D/(2a)が0以外の実数でなければなりません。
　もちろん、2aは実数なので、√Dは実数ということになります。この値をAと置くと、√D＝A（≠0)となりますので、この両辺を自乗することで、
　　D＝A^2（＞0）
となり、Dは正であることが導かれます。