数学II 判別式と2次不等式について

質問

すべての実数ｘについて、ax²+bx+c>0 (a≠0) ⇔a>0, D<0
この式の意味が分かりません。aが正だと判別式Dは解を持たないということでしょうか？
だとしたらなぜそうなるのでしょうか？

ご回答よろしくお願いします

回答No.1

meowcoooo · ベストアンサー

ax²+bx+c>0 (a≠0)
左辺はa≠0なので、二次関数ですね。
y=ax²+bx+cのグラフは放物線ですので
そのグラフがすべてのxで常に正になる(つまりx軸より上である)状態を考えて下さい。
そしてその状態になる為に必要な条件がa>0、D<0の２つです。

もしa<0だったら、上に凸のグラフになるので、どこにグラフを書いても必ずグラフの両端はx軸よりも下に突き抜ける事になります。なので、a>0(下に凸)でなくてはなりません。

またa>0の時でも
判別式Dが
正(D>0)の場合はx軸と2点で交わります。
D=0の場合はx軸と1点で接します。
この二つは全てのxでax²+bx+c>0を満たしてはいない為、アウトです。
なので判別式Dが負(D<0)の時にグラフはx軸から浮く形になります。

回答No.2

asuncion

＞すべての実数ｘについて、ax²+bx+c>0 (a≠0) ⇔a>0, D<0
要するに添付画像のような状態を表わします。
y = ax^2 + bx + c という2次関数を考えたとき、
すべての実数についてy > 0が成り立つのでx軸よりも上にあります。
この段階でa > 0がいえます。
また、y > 0ですので、y = 0にはなりません。ということは、
ax^2 + bx + c = 0という2次方程式の解が実数の範囲において
存在しないということですから、判別式D < 0となります。

お礼

画像まで添付していただきありがとうございます！