部分積分法

質問

∫[0→π]e^x*sinxdxを求めなさい。

∫[0→π]e^x*sinxdx＝[e^x*sinx][0→π]－∫[0→π]e^x*cosxdx
＝－｛[e^x*cosx][0→π]+∫[0→π]e^x*sinxdx｝
　　　　　　　　　＝－(－e^π－1－∫[0→π]e^x*sinxdx)
というかんじになって永遠に部分積分法が続いてしまいます。
どのように対処すればよいでしょうか？？

もうひとつ質問なのですが、アークタンジェントと呼ばれる(Tan^-1)xがありますが
(tan^-1)xもまったく同じ意味をあらわしているのでしょうか？？
また、cotxと(Tan^-1)xは同じ意味なのでしょうか？？
初歩的な質問ですがよろしくお願いしますm(__)m

回答No.6

Mr_Holland

＃３です。
　お礼をありがとうございます。

＞(tan^-1)xというものがでてきたら、かならずアークタンジェントということになるのでしょうか？？
＞x^-1では1/xとあらわせるように
＞1/tanということはできないのでしょうか？？

　tan^(-1)(x) が出てきたら、必ず、tan の逆関数になります。
　tan^(-1)(x) が 1/tan(x) と一緒でしたら計算が簡単でいいですのにね。（私も初めてみたときにそう思いました。でも、この逆関数もなければ困ることもありますので、これはこれで必要です。）
　さて、「^(-1)」と書いているのに、なぜ逆数にできないかですが、これは関数についての特別な書き方だと思われたほうがよいと思います。つまり、数字や変数の肩に(-1)が付いたときは逆数（－１乗)の意味ですが、関数の肩に(-1)が付いたときは、逆数ではなく、逆関数にすると決められているということです。
　ただ、逆関数にするときは、どれにでも付けていいわけではなく、よく目にするのは、三角関数や双曲線関数ではないかと思います。（logやexpの逆関数として(-1)が肩についているのを見たことがありません。）

　参考に、よく使われる関数の逆関数との対応を書いておきますので、理解に助けに使ってください。

　　y=sin(x)　⇔　x=sin^(-1)(y), x=arcsin(y)
　　y=cos(x)　⇔　x=cos^(-1)(y), x=arccos(y)
　　y=tan(x)　⇔　x=tan^(-1)(y), x=arctan(y)

　　y=log(x)　⇔　x=e^(y), x=exp(y)

　　y=sinh(x)　⇔　x=sinh^(-1)(y), x=arcsinh(y)
　　y=cosh(x)　⇔　x=cosh^(-1)(y), x=arccosh(y)
　　y=tanh(x)　⇔　x=tanh^(-1)(y), x=arctanh(y)

回答No.5

info22

＞逆関数(tan^-1)xというのは(1/tan)xとあらわすことは無理なのでしょうか？？
そういう書き方は許容されていません（書いても通用しません）。

　　　－１
ｔａｎ　　ｘ

または

ａｒｃｔａｎ　ｘ

共に読み方は「アークタンジェント　エックス（arctangent x）」です。
アークタンジェント（arctangent）は日本語でが「逆正接」です。

数学的な表記法はどちらかの書き方しかありません。これは学会等で決められた記号ですからそのまま使ってください。他の書き方は通用しないですし、答案に書けば間違いなく「×」とされます。

回答No.4

info22

積分は#1さんの方法がどの教科書や参考書でも演習問題として書かれていますよ。
積分結果は
{(e^π)+1}/2
ということですね。

x=tan(y)はx=1に対して、y=(π/4)+nπ　(nは任意の正負の整数)
となりますね。
つまりxの1つの値に対してyは1つだけ決まる関数ではないですね。
しかし｜y｜≦π/2に制限すればyが1つだけ決まりますね。
このyの範囲を制限して
x=tan(y)の逆関数の
y=tan^(-1) x
の関数を
y=Tan^(-1) x
と先頭のtを大文字で書いています。
このとき任意の実数xに対してただ１つのyが決まります。
y=Tan^(-1)　x
のとり得る範囲は|y|≦π/2です。
「Tan^(-1) x」を「tan^(-1) x」　の主値と呼びます。
Tan^(-1) 1 = π/4 です。
書き換えれば
tan(π/4)=1
ということです。

cot(x)=1/{tan(x)}です。
逆数の関係です。

Tan^(-1) xとtan(x)は逆関数の関係です。
つまり
Tan^(-1){tan(x)}=x
tan{Tan^(-1) x}=x
という関係です。
y=Tan^(-1) x
のとり得るラジアン角度は-π/2～π/2であることを忘れないで下さい。
単に
tan^(-1) a
と書いても多くの場合
Tan^(-1) a
の意味で使っています。
正確には
tan^(-1) x
は多価関数です。
一方
(Tan^-1)x
は一価関数です。
これでお分かりになりましたか？

お礼

返信ありがとうございます。
わかりやい説明で理解することができましたm(__)m
No3でも質問したのですが
逆関数(tan^-1)xというのは(1/tan)xとあらわすことは無理なのでしょうか？？

回答No.3

Mr_Holland

＞∫[0→π]e^x*sinxdx＝[e^x*sinx][0→π]－∫[0→π]e^x*cosxdx
＞＝－｛[e^x*cosx][0→π]+∫[0→π]e^x*sinxdx｝

　この２行目で何をやっているのか分からなくなりました。
　３行目までいけたのなら、あとはもう少しです。
　計算は次のようにやります。

　　求める定積分の値をＩとしますと、
Ｉ＝∫[0→π]e^x*sinxdx
　＝[e^x*sinx][0→π]－∫[0→π]e^x*cosxdx　　（ここまでは一緒です。）
　＝(0-0)－{ [e^x*cosx][0→π]－∫[0→π]e^x*(-sinx)dx }
　＝－(-e^π-1)－Ｉ
∴２Ｉ＝e^π+1　　　（右辺のＩを左辺に移項します。これで永遠に積分せずに済みます。）
∴Ｉ＝(e^π+1)/2

＞もうひとつ質問なのですが、アークタンジェントと呼ばれる(Tan^-1)xがありますが
＞(tan^-1)xもまったく同じ意味をあらわしているのでしょうか？？

　(Tan^-1)x　も　(tan^-1)x　も tan の逆関数として同じようなものですが、１点だけ違うところがあります。
　(tan^-1)x の値域は、(-∞,+∞) で、xに対して無数の値が出てきます。
　他方、(Tan^-1)x　の値域は (-π/2,π/2) の範囲に限定され、ｘに対して常に値が１つだけになる（関数の値が一意に決まる)ようになっています。

＞また、cotxと(Tan^-1)xは同じ意味なのでしょうか？？
　この２つは異なります。
　cotはtanの逆数ですが、Tan^-1は逆関数になります。
　関数の右肩に「-1」という書き方では、逆数のような気がして紛らわしいですよね。違いを明確にするために、式で表します。

　　cot(x)＝1/tan(x)
　　y=tan(x)　⇔　x=tan^-1(y)

お礼

返信ありがとうございます。丁寧にわかりやすかったです。
(tan^-1)xというものがでてきたら、かならずアークタンジェントということになるのでしょうか？？
x^-1では1/xとあらわせるように
1/tanということはできないのでしょうか？？
質問ぜめですみません。

回答No.2

debut

∫e^x*sinxdx=e^x*sinx-∫e^x*cosxdx　と
∫e^x*sinxdx=e^x*(-cosx)-∫e^x*(-cosx)dxとしたもの
とで、辺々足して２で割れば求められます。

tanxの逆関数であるarctanxと、tanxの逆数であるcotx
は全く別物です。

お礼

返信ありがとうございます。
逆関数、と逆数の違いだったんですね！

回答No.1

velvet-rope

有名な部分積分ですね。
　∫[0→π]e^x*sinxdx＝e^π＋1－∫[0→π]e^x*sinxdx
ですから、移項して

　2∫[0→π]e^x*sinxdx＝e^π＋1

ですね。

お礼

返信ありがとうございます。
なるほど・・
右へ移項し、２で割るんですね・・。