宇宙空間で、軌道が束縛されている質点の運動についての問題

質問

宇宙空間で、放射線状に曲がったトンネルの中を宇宙船が走るような場合です。
この質点の運動方程式を、その軌道の接線方向と法線方向に分けた式はどのようになるのか？

という問題なのですが、全然わかりません。
放射線状になったトンネルの中を走っていくから、等速直線運動しかしない宇宙空間で通るのなら、
放物線を二次関数y=x^2で表すとすると、原点あたりが一番外力がかかり、絶対値が大きくなればなるほど、ほとんど外力がなくなるってのは直観的にわかるのですが、それをどう式で表すのか？が見当がつきません。

どなたか教えてもらえないでしょか。

回答No.1

phyonco · ベストアンサー

放物線に沿って速さが一定の運動を考えます。この速さを v としますと、失点は微小時間 dt 中に vdt という距離を移動します。放物線 y= x^2 上の微小に離れた２点の間の距離の二乗は、dy = 2x dx ですから
dl^2 = dx^2 + dy^2 = dx^2 + (2xdx)^2 = (1 + 4 x^2) dx^2
これの平方根が v dt に等しいとおけば
v = sqrt(1 + 4 x^2) v_x
vは与えられているとすれば、この式は v の x 成分、すなわち v_x　を x の関数として与えています。v を定数として両辺を微分すれば、
0 = [4x (v_x)^2 + (1 + 4 x^2) a_x]/sqrt(...)
すなわち、加速度 a の x 成分は
a_x = -4x (v_x)^2 / (1 + 4x^2) = - 4 x v^2 / (1 + 4 x^2)^2
と求まって、x方向にブレーキの掛かった運動であることが分かります。
y方向の加速度 a_y は、dy = 2x dx をもう一度微分すれば
d^2y = 2 (dx)^2 + 2x d^2x ですから
a_y = 2 (v_x)^2 + 2x a_x
= [2 v^2 - 8x^2 (v_x)^2]/(1 + 4 x^2)
= 2 v^2[(1+4 x^2) - 4 x^2] / (1 + 4 x^2)^2
= 2 v^2 / (1 + 4 x^2)^2
となり、x の小さいときに y 方向に大きく加速され、その後 x の４次で
だんだん小さくなることが分かります。以上で運動方程式のx, y方向成分が求まりました。加速度 a の接線方向成分は、dy/dx = 2x を使うと
a_L = (dx a_x + dy a_y)/ sqrt(dx^2 + dy^2)
= (a_x + 2x a_y) / sqrt(1 + 4 x^2)
= [- 4 x v^2 + 4x v^2 ] / (...)
= 0
法線方向成分は、a_Lが消えたのでaの大きさに一致し、
a_T = sqrt(a_x^2 + a_y^2)
= sqrt({4 x v^2}^2+ {2 v^2}^2)/(1 + 4 x^2)^2
= 2 v^2 /(1 + 4 x^2)^(3/2)
となります。加速度を運動のパラメータで与えたのですから、これが求めていた運動方程式です。

お礼

ありがとうございます。非常に迅速でわかりやすい回答でした。
感謝します！