不定積分

質問

∫dx／(xxx＋１）
の計算方法が分からなくて困っています。
xxx＋１＝（x＋１）（xx－x＋１）と展開して考えてみたのですがどうも答えが合いません。ただの計算間違いでしょうか？

回答No.2

info22 · ベストアンサー

何の補足質問もありませんが自力解答を書き、分からないところを質問してくれないと解決しませんよ。（回答者による丸解答は禁止されているのでアドバイスやヒントしか出せません。）

追加ヒント）
1/(x^3+1)
=(1/3)/(x+1)-(1/6)(x^2-x+1)'/(x^2-x+1)+(1/2)/(x^2-x+1)
→I1+I2+I3
(1/3)/(x+1)の積分I1は分かるだろ。

-(1/6)(x^2-x+1)'/(x^2-x+1)の積分I2も分子が分母の微分(x^2-x+1)'
になっているから分かるだろ。

(1/2)/(x^2-x+1)=2/{(2x-1)^2+3}
はt=(2x-1)/√3と置換すると1/(t^2+1)となり積分公式が適用できる。
→I3=(1/√3)arctan(t)

ここまでヒントを書けば、出来ないはずがないと思うが、如何？

お礼

上の補足の間違いに気付きました！
＞(1/3)/(x+1)の後の積分を
1/3∫{(-x+1/2)/(x^2-x+1)+(3/2)/(x^2-x+1)}dx
=-1/6log(x^2-x+1)+1/2log(x^2-x+1)
これの後半のところを全く違う風に考えていました・・

わかりやすい説明、ヒントをありがとうございました。
質問の仕方のご指導もありがとうございました。

補足

2回も回答・ヒント等ありがとうございます。
最初は、
1/(ｘ^3+1)=1/3(x+1))-(1/3)(x-2)/(x^2-x+1)
(1/3)/(x+1)の積分
まで分かっていました。
(1/3)/(x+1)の後の積分を
1/3∫{(-x+1/2)/(x^2-x+1)+(3/2)/(x^2-x+1)}dx
=-1/6log(x^2-x+1)+1/2log(x^2-x+1)
としてしまいました。
補足するのが大変遅くなりましたがお願いします。

回答No.1

info22

他の質問を見て
「xxx」、「xx」などの書き方はしないで「x^3」、「x^2」と書くようにして下さい。

>x^3+1=(x+1)(x^2-x+1)と展開して考えてみたのですがどうも答えが合いません。ただの計算間違いでしょうか？
考え方はあっていますが、答が合わないのは多分あなたの計算力不足による計算間違いでしょう。
ここで質問する場合はたとえ間違っていても、自力解答を書いて質問して下さい。間違いがあれば回答者が訂正またはただし結果が得られるようにアドバイスしてくれます。
（やったことを何も書かないで解答を要求すればマナー違反で削除対象になります。）
間違っていても自身でやった解答を補足に書いて、その上で分からないところがあれば質問するようにして下さい。

ヒント）
1/(x^3+1)=(1/3)/(x+1)-(1/3)(x-2)/(x^2-x+1)
(x^2-x+1)={(x-1/2)^2+3/4}