０の０乗は１、にしたい（その４）

質問

http://oshiete1.goo.ne.jp/qa4347011.html
http://oshiete1.goo.ne.jp/qa4355129.html -- 続き
http://oshiete1.goo.ne.jp/qa4375134.html -- その３
の続きです。

0^0を極限値から求める方法について考える。
候補は、次の３つである。（右極限値のみ考える）

(1)lim[y→+0]0^y
(2)lim[x,y→+0]x^y
(3)lim[x→+0]x^0

(1)について、lim[y→+0]0^y=0である。しかし、P=0^0と置くと
lim[y→+0]0^y
=lim[y→+0]0^(0+y)
=lim[y→+0]0^0*0^y
=lim[y→+0]P*0^y
=P*lim[y→+0]0^y
=P*0=0
つまり、この極限値は0^0の値とは関係なく0となるので、0^0は決定できない。

(2)について、極限値lim[x,y→+0]x^y=Lが存在するとは、
任意のεに対して δx,δy を適当に選べば、次のことが成立することである。
∀ε>0, ∃δx,δy>0 s.t. ∀x,y∈R, 0< x-0 <δx, 0< y-0 <δy ⇒ |x^y-L|<ε
ところが、x→0の値とy→0の値は異なるため、次の様に修正を行う。
∀ε>0, ∃δx,δy>0 s.t. ∀x,y∈R, δx/2< x-0 <δx, δy/2< y-0 <δy ⇒ |x^y-L|<ε

(x/2)^y=x^y*(1/2)^y≒x^y (|y|≪1)
x^(y/2)=√(x^y)
であるので、任意のεが存在するためには、L=0またはL=1でなければならない。
しかし、x>0, y>0 であれば x^y>0 であるので、L=1 である。

(3)について、lim[x→+0]x^0=1であり、
lim[x→+0](x+y)^0=1
も任意のy∈Rで成り立つ。つまり、(1)のような問題はない。

また、xの逆数（乗法の逆元）について
(A)x*x^(-1)=x^1*x^(-1)=x^(1-1)=x^0=1
(B)1=□*xの□を1/xと表す
という２つの意見があり、xの逆数はx^(-1), 1/xの２つがある。（続きの#49）

(A)と(B)で定義される逆数が等しければ、
x^(-1)=1/x
これがx=0^0でも成り立つとすると、
(0^0)^(-1)=0^(0*(-1))=0^(-0)=0^0=1/0^0
よって、0^0=1である。

いずれも、0^0=1を否定しないか、それを肯定しています。
この考えに、問題はありますか？

回答No.14

arrysthmia · ベストアンサー

←No.12 補足
＞ これも、理由は「未定義」だから、なんでしょ？
＞ そして、「連続でない」から「未定義」なんですよね。
＞ それとも、常識または慣例だから「未定義」なんでしょうか。
＞ それとも、定義すると不便だから「未定義」なんでしょうか。

私が「未定義」を推す理由は、
第一に「定義すると不便だから」であり、
また、「常識または慣例だから」でもある。

間違っても、「連続でない」ことから「未定義」であることが
導けるなどとは、言っていない。そんなことは、できようもないし、
むしろ、そんなことはできないのだ　というのが、
私が君に強く訴えたい点だ。

「連続でない」から「定義すると不便」であり、そのことが、
「未定義」としたい理由にはなっているが。
あくまで、主観的な判断である。

＞ 私としては、「0^0≠1 を導くことができる」が導けないのであれば
＞ 十分なのですが…

この辺の行間に滲む、0^0=1 がどこかから導ける　という発想が
根本的な間違いである　と考えている。

0^0=1 と定義した、べき乗の別バージョンには、それなりの使い勝手
があり、そうのようなものを定義する意義は否定しない。
そのことは、(その１) No.10 から一貫して述べている。
変な理屈は捏ねず、「私は、主観的な理由から 0^0=1 にしたい。」と
正直に告白すればよいのだ。Knuth のように、同じ趣味の人もいるだろう。
特殊な、個人的な趣味の話なのだ　ということを忘れなければ、
問題は無い。

証明できる事実は、自然数 y について、掛け算の反復で素朴に定義した
x^y と一致し、任意の実数 x,y について連続かつ指数法則を満たすような
２変数関数 x^y は存在しない　ということだけだ。

そこから出発して、
0^0 を定義せず、定義域全域で連続かつ指数法則を満たす通常の x^y
を定義する立場もあれば、
y を有理数に制限して、0^0=1 かつ、定義域全域で指数法則を満たす x^y
を定義する立場もある。

両者は、違うものを「べき乗」と呼んでいるだけで、
どちらかが間違っているというものでもない。
ただ、一方の定義は普及しており、もう一方は「オレ流」である
というだけの話だ。
「べき乗」を２種類定義すること自体、煩瑣で不便だとは思うが…

「オレ流」の選択を普及させるための活動として、それが
何かの方法で証明できる事実であるかのように語るのは、不正直である。
君の不正直な語り口が気に入らないことは、Wikipedia の誤引用による
情報操作 (その１) No.26 の時にも述べた通りだ。

お礼

違いがはっきりしてきましたね。
さらに問いたいのですが、べき乗は２種類ではありませんか？

＞0^0 を定義せず、定義域全域で連続かつ指数法則を満たす通常の x^y
＞を定義する立場もあれば、
＞y を有理数に制限して、0^0=1 かつ、定義域全域で指数法則を満たす x^y
＞を定義する立場もある。

0^0を定義せず、定義域はx>0, y∈Rで、指数法則を満たし、連続な関数と、
0^0を定義し、定義域はx∈R, y∈Zで、指数法則を満たし、不連続な関数（多価を許せばyは有理数に拡張可能）と、
２つの関数を合成したものが、べき乗であると言えませんか？

２つの関数は、階乗とデルタ関数のような関係ですが、定義域が部分集合の関係になっておらず、１つめの関数を無理に拡張すると、奇妙なことが起こります。
たとえば、(-1)^1は-1ですが、これは連続性を満たしていません。
0^0に値があるのに、連続でないのは、(-1)^1と同じ理由かもしれません。

＞私が「未定義」を推す理由は、
＞第一に「定義すると不便だから」であり、
＞また、「常識または慣例だから」でもある。

念のために確認しますが、何が不便なのでしょう。
「不連続だから」に戻りませんか？
それ以外の実例を示してもらえたら、分かり易いのですが…

＞変な理屈は捏ねず、「私は、主観的な理由から 0^0=1 にしたい。」と

そうかもしれませんね。
でも数学は、その主観を認め合うものじゃありませんか？
計算は１０進数でするのが常識です。
でも、２進数も認められます。
認められるかどうかの基準は、それが矛盾を含んでいないかどうかだけです。
記号や関数の定義など、常識は作られますが、それは理論とは、何の関係もありません。

今回の場合は、べき乗をどう定義するか、という問題を含んでいますから、それは実用的で便利なように定義すれば良いでしょう、１０進数を選んだように。
でも、こういう仮定ではこうなりますか？という質問に、その仮定は常識から外れていると答えるのは、止めて欲しいですね。

ありがとうございました。

補足

お礼の誤記を訂正します。

＞２つの関数は、階乗とデルタ関数のような関係ですが

デルタ関数ではなくて、ガンマ関数でした。
No.17で引用されてますが、こちらもガンマ関数です。

話は通じているようですが、すみませんでした。

回答No.28

Tacosan

なんだかなぁ....
「n=0なら、左辺はa^0、右辺は(a%p)^0です。
さらにa%p=0なら、右辺は0^0です。」
というのもおかしいし, そこから
「これは0^0=1を示しているように見えます。」
といってしまうのは, もう「科学的」とは言えないような気がする.
まず前者についていうと, 今考えているのはまさに「0^0」であって, 「x^y において x と y の一方を 0 にしてから他方を 0 にする」ということではない. 勝手に順序を付けて考えてはいけないのであって, 「n=0 なら～, さらに a%p=0 なら～」と考えてしまってはいけない.
そのあとについては完全に理屈が飛躍しています. どうして「0^0 = 1 を示しているように見える」のか, 理由を示してください.
さらにいえば, 私は CRT との関係において「0^0 = 0 とした方が便利なことがある」と言っています. これを否定したいなら, 「一般的な場合に 0^0 が決められない」というのではなく, 「CRT を考えた場合に 0^0 = 0 とするとやはり不都合である」ということを示すべきではありませんか? 少なくとも「常に 0^0 = 1 としたい」というのであればこれを示さないと無意味ですよ.

お礼

＞勝手に順序を付けて考えてはいけないのであって, 「n=0 なら～, さらに a%p=0 なら～」と考えてしまってはいけない

順序が関係するのは、x^yの極限値を考えている場合と似ていませんか？
x^yを、y=0とした後で0^0を求めると1、x=0とした後で0^0を求めると0、というのと同じです。
だからこれは、連続性がないことを再確認しているだけだと思います。

＞私は CRT との関係において「0^0 = 0 とした方が便利なことがある」と言っています.

この話は、条件を全く考慮することなく成り立つから便利と言っていたのですから、すべての値に適応できないのでは、便利とは言えないでしょう。

＞少なくとも「常に 0^0 = 1 としたい」というのであればこれを示さないと無意味ですよ.

この話からは、0^0 = 1を示したいとは思っていませんので、0^0 = 0だけが出てくるのでなければ十分です。
でも、こんな所で連続性の問題と同じことが出てくるとは思いませんでした。

連続性を示すことは諦めていますが、0^0 = 1に矛盾がないことと、0^0 = 1 以外が不都合なことを示すことは、まだ諦めてないです。
そうでないという指摘は、まだ募集しています。

ありがとうございました。

回答No.27

Tacosan

私の論で使っているのは (1)～(3) までで, これについては底が 0 になる場合でも指数が 0 にならなければ適用可能であるという認識で一致していると理解しています.
(4) と (5) については私の論では使っていないので, 正直いって「ど～でもいい」です. まあ, a=0 のときに適用しようとしても無理ですけどね.

お礼

No.10:
a^n ≡ (a % p)^(n % (p-1)) (mod p)
これが、元々の形でしたよね。
n=0なら、左辺はa^0、右辺は(a%p)^0です。
さらにa%p=0なら、右辺は0^0です。
これは0^0=1を示しているように見えます。

つまり、a=0なら、0^0=0が都合が良くなり、n=0なら、0^0=1が都合が良くなります。
結局、0以上のすべてのa,nに適応できる値は、決められないんじゃないですか？

ありがとうございました。

回答No.26

Tacosan

じゃあ
「次に、逆数が定義できない可能性です。
a^(x-y)=a^(x+(-y))=a^x*a^(-y)=a^x*1/a^y=a^x/a^y
この中で、逆数が使われています。
a^(-y)=1/a^y
ところが、これが適応できないとなると、0の負冪が未定義であることすら、定義しなければならなくなります。
つまり、現在は0の逆数になるから未定義であることが言えるのですが、もしそれが言えなければ、未定義である指数の範囲を定義しなければならなくなります。

そして、指数は、指数関数であり、指数関数は、指数法則で定義された関数であることです。」
というあたりは何をいいたいの?
念の為言っておくけど, 0/0 なんてのを持ち出したのは私じゃなくてあなた. しかも, 0/0 は私の論には全く関係ない. だから, 私が 0/0 について考えなきゃならない理由など何一つない.

お礼

No.24:
＞特に, a^(x-y) = a^x / a^y を a=0 に対して適用していいのですか?

私は、これに返答しようとしているだけですが。

もし、話を続けるつもりなら、No.25の５つの式で、どれが0について適応できないと考えているのかを示してください。
共通認識、あるいは違いをはっきりさせないと、会話になりません。

ありがとうございました。

回答No.25

Tacosan

つまり, 「a^(x-y) = a^x / a^y を a=0 に対して適用する根拠はない」ということで OK ね?
だとしたら, なぜ必要もないのにこれを使うような解釈をするんですか?

お礼

そんな答えはした覚えないです。

これを突き詰めたいなら、次のことを示してください。

「指数法則の適応範囲（定義域）は何か」
１．a^(x+y)=a^x*a^y
２．a^(x*y)=(a^x)^y
３．(a*b)^x=a^x*b^x
４．a^(-y)=1/a^y
５．a^(x-y)=a^x/a^y

ありがとうございました。

回答No.24

Tacosan

a=0 に対して指数法則を無制限に適用していいのですか?
特に, a^(x-y) = a^x / a^y を a=0 に対して適用していいのですか?
「適用していい」というのであれば, その根拠は?

お礼

まず、指数法則は、次の形です。
a^(x+y)=a^x*a^y
これがa=0で成り立たないと、次の計算ができません。
0^2=0^1*0^1=0*0=0
つまり、0^1=0以外のすべてのことが未定義となってしまいますので、これはあり得ません。

次に、逆数が定義できない可能性です。
a^(x-y)=a^(x+(-y))=a^x*a^(-y)=a^x*1/a^y=a^x/a^y
この中で、逆数が使われています。
a^(-y)=1/a^y
ところが、これが適応できないとなると、0の負冪が未定義であることすら、定義しなければならなくなります。
つまり、現在は0の逆数になるから未定義であることが言えるのですが、もしそれが言えなければ、未定義である指数の範囲を定義しなければならなくなります。

そして、指数は、指数関数であり、指数関数は、指数法則で定義された関数であることです。
指数が、指数法則に従わないなら、0の指数についてのみ、別の法則を作らなければなりません。（あるいは0のべき乗をすべて未定義とするか）
a=0に対して、0/0などが出るから未定義にするのは分かりますが、それ以外のルールをわざわざ作るのは、恣意的で意味の無いことです。

ありがとうございました。

回答No.23

arrysthmia

←No.21 補足
＞ 私は、単純にlogxの虚数部を[0,2π)にすることかと思ってましたが、
＞ この定義だと0から2πになる時に、不連続となりますから…

それは、log が不連続なのではなく、不連続になるように切っているだけ。
枝を切ったから、断端が不連続になった。
log x の虚数部が 0 や 2π に近い所で連続になるようにする為には、
虚数部を 0 で切らず、例えば π ででも切って、[-π,π) の値をとるように
すればよい。その際、虚数部が π になる所が不連続になるが、
どこかに不連続な場所ができることは、log が特異点を持つ以上しかたない。

＞ １＾√２・１＾√３・…（ずっと続く）
＞ くらいしないと、円にはならないのですね。

それをしても、全円にはならない。
各 1^√m が、log の枝によって、先の整数 n で番号付けされるので、
{ 1^√m | mは自然数 } には、有理数 { n/m | nは整数、mは自然数 }
と同じ番号付けが可能で、これも加算となる。

お礼

No.21:
＞＞ｎを固定しちゃったら、x^y写像は連続でなくなりますよね。
＞＞これは、近傍を考える時は連続になるように固定するｎを必ず選ぶことができるから、ということですか。

この文章は、単純にlogxの虚数部を[0,2π)に固定しっちゃったら連続でなくなるけれど、近傍という限られた範囲でなら連続になるように区間を選び、x^yを連続にできるという意味でした。

＞log x の虚数部が 0 や 2π に近い所で連続になるようにする為には、
＞虚数部を 0 で切らず、例えば π ででも切って、[-π,π) の値をとるように
＞すればよい。

これも同じ意味だと思います。

ありがとうございました。

回答No.22

arrysthmia

←No.21 補足
＞ ｎを固定しちゃったら、x^y写像は連続でなくなりますよね。

ダウト。
n を固定するから、連続になるのであって、
逆に、近い (x,y) の間で異なる n を採ってしまったら、
n の変わる場所で不連続となる。わかっとらんね。
　　x^y = exp( y log x )。
　　log x = ∫[１≦z≦x](1/z)dz。
に戻って、式をよく噛みしめてみるとよい。
微分可能な関数は、連続。x^y の連続性は、この一点で理解できるハズ。

＞ ２＾√２とは、絶対値がある一定の円上の点になる、というので
＞ あってますよね？

最近のTVアナウンサーのような微妙な言い方で、
言っていることは、あっているが、意味していることは、間違っている。
行間で話がすり替わるパターンだ。

2^√2 の値は、複素平面上で、ひとつの円周上に稠密に分布するが、
その点の濃度は高々加算であって、円周上の全ての点にはならない。
2^√2 の値となる複素数の集合は、先の n によって番号付けられており、
2^√2 の 2 なり √2 なりを小さな実数値だけずらすと、少しずれた円周上で
同じ n を持った点へ連続的に移る…という意味で、「各枝が連続」なのだ。
基本だよ。

お礼

＞　　x^y = exp( y log x )。
＞　　log x = ∫[１≦z≦x](1/z)dz。
＞n を固定するから、連続になるのであって、

「ｎを固定する」の定義は何ですか？
多分、この定義が食い違っているんでしょう。
私は、単純にlogxの虚数部を[0,2π)にすることかと思ってましたが、この定義だと0から2πになる時に、不連続となりますから…

＞その点の濃度は高々加算であって、円周上の全ての点にはならない。

濃度ですか。忘れていました。
１＾√２・１＾√３・…（ずっと続く）
くらいしないと、円にはならないのですね。

ありがとうございました。

回答No.21

arrysthmia

←No.17 補足
＞ y は実数、あるいは複素数ですので、せめて無理数でも正則になることを
＞ 示してもらえませんか？

だから、x^y = exp( y log x )。
A No.17 には、誤字があった。陳謝訂正： log x = ∫[１≦z≦x](1/z)dz。

＞ yが無理数の場合、x^y は値が定義できないと思いますが…
＞ つまり、有限個の「枝」の集まりが正則という主張があったとして、
＞ それが有限でない「枝」の集まりに適応できるかに疑問があります。

上記のように枝を整理すると、無理数 y についても正則に x^y が定義される。
log x の多値性は、log x のひとつの枝を Log x として、
log x = (Log x) + (2πi) n : i は虚数単位、n は任意の整数　と表せる。
　　この表示は、閉路積分 ∫(1/z)dz = 2πi に由来している。
　　この積分は、解析学的には π の定義でもある。
n を固定すれば、各枝は正則である。
n の候補が有限個か無限個かは、枝の正則性とは関連がない。

＞ そして、近傍にはx^y の値が定義できない点が必ず含まれるのに、
＞ それを含めて連続であるという主張の意味が、まだ理解できません。

上記の定義で、x^y が正則関数として定義できない点は、複素二次元空間内で
(0,0) のみ。y が無理数だと定義できない…というのは、単なる覚え違いだ。

お礼

＞n を固定すれば、各枝は正則である。

ｎを固定しちゃったら、x^y写像は連続でなくなりますよね。
これは、近傍を考える時は連続になるように固定するｎを必ず選ぶことができるから、ということですか。

＞y が無理数だと定義できない…というのは、単なる覚え違いだ。

２＾√２とは、絶対値がある一定の円上の点になる、というのであってますよね？

ありがとうございました。

回答No.20

Tacosan

厳密にいえば k > 0 かつ k % (p-1) ≧ 0 でないと意味はないのですが, その条件でかつ「k が p-1 の倍数でない」時には任意の a に対し
a^k ≡ a^(k % (p-1)) (mod p)
です＞#19. も～っといえば,
a^k ≡ a^(((k-1) % (p-1))+1) (mod p)
なら任意の a と正の k に対して成り立ちます. どちらも指数が 0 にならないことがポイントで, その場合にはフェルマーの定理そのものを持ち出す必要はありません.
a^p ≡ a (mod p)
で十分 (この式が実質的に「指数が正である限り周期 p-1 を持つ」ことを示しているため) です. しかも, この式はフェルマーの定理を使うことなく証明可能です.
ついでにいえばフェルマーの定理
a^(p-1) ≡ 1 (mod p)
そのものを a=0 の場合に拡張しようなどという野望は全くありません. 少なくとも, 0^(p-1) = 0 についてはコンセンサスがとれていると確信していますので.

お礼

理解力が低くて、回答がずいぶんと遅れてしまいました。すみません。

＞a^p ≡ a (mod p)
＞a^k ≡ a^(k % (p-1)) (mod p)
この変形段階でつまずいてました。（汗）

２つ目の式は、p-1の周期を持つことを表していますが、周期は別の表現もできます。
k>=p-1の場合
a^k ≡ a^(k - (p-1)) (mod p) = (a^k / a^(p-1)) (mod p)

これをa=0に適応すると、0/0を計算していることになります。
つまりこの式は、0/0=0の主張と同じではないでしょうか。

a=0, k=4, p=5では、次のとおり。
0^4 = 0^(4 - (5-1)) (mod 5) = (0^4 / 0^4) (mod 5)

ありがとうございました。

回答No.19

aiueo95240

ANo.16 Tacosanさんの回答で。

フェルマーの小定理は、
素数 p と、pに互いに素である a に対し a^(p-1) ≡ 1 (mod p)

これを少し変えて、
素数 p と、任意の a に対し a^p ≡ a (mod p)

ここまではいいと思います。でも、

＞このことから, k が p-1 の倍数でなければ任意の a に対し
a^k ≡ a^(k % (p-1)) (mod p)
です. また, a が p の倍数でなければ k に対する条件を外すことができます.
で, #10 で言いたかったことの主眼は
「だから, 0^0 ≡ 0 とすると, a や k に対する条件を全く考慮することなく a^k ≡ a^(k % (p-1)) (mod p) と書けて簡単じゃね?」

a^k ≡ a^(k % (p-1)) (mod p)
を言うには、フェルマーの小定理を使っているので、
aはpと互いに素であるという前提がいると思います。
これを例えばa=0のときにも成り立つように、 0^0 ≡ 0 とすると, この式に関してはいいかもしれませんが、
フェルマーの小定理自身の a^(p-1) ≡ 1 (mod p) をa=0 のときにも成り立つようにはできません。
つまり、底aをやたらに0のときにも拡張するのはよくなくて、
0^0 ≡ 0 は便利なものだとは思いません。

僕は「便宜的に0^0 = 0とする」と書いてある書物はないと確信しています。

お礼

議論に付いて行けなくて、遅くなりました。

「簡単じゃね？」という意見にも、一理あると思い、悩んでいました。
でもこれは、0/0=0と決めたら「簡単じゃね？」ということと同じだと思います。（No.20参照）

ここはやはり、a=0に広げるのは、問題があると判断しました。

ありがとうございました。